《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{8}=4$，则$a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}$等于( ).
(A)32
(B)64
(C)128
(D)256

答案： B

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=1$，公差为$d$，如果$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{5}$成等比数列，那么$d$等于( ).
(A)2
(B)$-2$
(C)2或0
(D)$\pm 2$

答案： C

3. 若数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，则下列命题正确的个数为( ).
①$\{ a_{n}^{2}\}$，$\{ a_{2n}\}$均为等比数列；②$\{ \ln a_{n}\}$为等差数列；
③$\{ \frac{1}{a_{n}}\}$，$\{ |a_{n}|\}$均为等比数列；④$\{ ca_{n}\}$，$\{ a_{n}\pm k\}$均为等比数列.
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1

答案： C

4. 一批设备价值$a$万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低$b\%$，则$n$年后这批设备的价值为( ).
(A)$na(1 - b\%)$万元
(B)$a(1 - nb\%)$万元
(C)$a(1 - b\%)^{n}$万元
(D)$a[1 - (b\%)^{n}]$万元

答案： C 【提示】依题意可知，第一年后的价值为$a(1 - b\%)$万元，第二年后的价值为$a(1 - b\%)^2$万元，以此类推，形成首项为$a(1 - b\%)$，公比为$1 - b\%$的等比数列，则可知$n$年后这批设备的价值为$a(1 - b\%)^n$万元.

5. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为1，公比为3，则$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}=$( ).
(A)$(3n - 2)^{2}$
(B)$\frac{1}{2}(3^{n}-1)$
(C)$9^{n}-1$
(D)$\frac{1}{8}(9^{n}-1)$

答案： D

6. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}$，数列$\{ b_{n}\}$是首项和公比均为2的等比数列，将数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列$\{ c_{n}\}$，则$c_{12}=$________.

答案： 16

7. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$是递减数列，若$a_{3}=1$，$a_{2}+a_{4}=\frac{5}{2}$，则$a_{1}=$__________.

答案： 4

8. 若$a$，$b$，$c$成等差数列，且三项之和为12，$a$，$b$，$c + 2$成等比数列，则$a=$__________.

答案： 2或8

9. 如果等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，且$a_{10}a_{11}+a_{9}a_{12}=2e^{5}$，那么$\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{20}=$________.

答案： 50

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=-1$，$(2+\frac{1}{a_{1}})(2+\frac{1}{a_{2}})(2+\frac{1}{a_{3}})\cdots(2+\frac{1}{a_{n}})=a_{n + 1}$，则使得$a_{n}\geqslant1023$成立的$n$的最小值为_______.

答案： 11 【提示】$\because(2+\frac{1}{a_1})(2+\frac{1}{a_2})(2+\frac{1}{a_3})\cdots(2+\frac{1}{a_n}) = a_{n + 1}$，$\therefore(2+\frac{1}{a_1})(2+\frac{1}{a_2})(2+\frac{1}{a_3})\cdots(2+\frac{1}{a_{n - 1}})=a_n(n\geqslant2)$，两式相除得$2+\frac{1}{a_n}=\frac{a_{n + 1}}{a_n}$，整理得$a_{n + 1}+1 = 2(a_n + 1)(n\geqslant2)$.$\because a_1 + 1 = 0$，$\therefore\{a_n + 1\}$从第二项开始是等比数列，且公比为2.$\because a_2 = 2+\frac{1}{a_1}=1$，$\therefore a_2 + 1 = 2$，$\therefore a_n + 1=(a_2 + 1)2^{n - 2}$，则$a_n = 2^{n - 1}-1(n\geqslant2)$. 由$a_n = 2^{n - 1}-1\geqslant1023$，得$2^{n - 1}\geqslant2^{10}$，$\therefore n\geqslant11$，即$n$的最小值为11.