《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

10. 函数f(x)=2x，g(x)=x²在区间[0,2]上的平均变化率分别记为m₁，m₂，那么m₁与m₂的大小为_______．

答案： $m_1 = m_2$

11. 分别计算函数f(x)=cos x在区间[0,$\frac{\pi}{3}$]上和区间[$\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{2}$]上的平均变化率，并判断在哪个区间上的函数值变化更快.

答案： 解：函数$f(x)=\cos x$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上的平均变化率为
$\frac{f(\frac{\pi}{3}) - f(0)}{\frac{\pi}{3}-0}=\frac{\cos\frac{\pi}{3}-\cos0}{\frac{\pi}{3}}=-\frac{3}{2\pi}$
函数$f(x)=\cos x$在区间$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$上的平均变化率为
$\frac{f(\frac{\pi}{2}) - f(\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{6}}=-\frac{3}{\pi}$
$\because\left|-\frac{3}{2\pi}\right|＜\left|-\frac{3}{\pi}\right|$，$\therefore$函数$f(x)=\cos x$在区间$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$上的函数值变化更快.

12. 某跳水运动员在跳水过程中重心相对于水面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是h = - 3t² + t + 15，求该运动员在t = 1 s时的瞬时速度.

答案： 解：$h(1)=13$，$h(1 + \Delta t)=-3(1 + \Delta t)^2+(1+\Delta t)+15=-3(\Delta t)^2-5\Delta t + 13$，
$\overline{v}=\frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{\Delta t}=-3\Delta t - 5$
当$\Delta t\rightarrow0$时，该运动员在$t = 1\ s$时的瞬时速度是$-5\ m/s$.