《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 已知{aₙ}是各项均为正数的等比数列，{bₙ}是等差数列，且a₁ = b₁ = 1，b₂ + b₃ = 2a₃，a₅ - 3b₂ = 7，求{aₙ}和{bₙ}的通项公式．

答案： 解：设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，$\{b_{n}\}$的公差为$d$，由题意得$q＞0$，由已知有$\begin{cases}2q^{2}-3d=2\\q^{4}-3d=10\end{cases}$，消去$d$，整理得$q^{4}-2q^{2}-8 = 0$。又$q＞0$，解得$q = 2$，$d = 2$，$\therefore \{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2^{n - 1}$，$\{b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=2n - 1$。

6. 已知数列{aₙ}的递推关系如下，分别求其通项公式．
(1)a₁ = 1，aₙ = 3aₙ₋₁ + 2(n≥2)；
(2)a₁ = 1，aₙ = 2aₙ₋₁ + 2ⁿ(n≥2)．

答案： 解：
(1)$\because a_{n}+1=3(a_{n - 1}+1)(n\geqslant2)$，$\therefore a_{n}+1=2\times3^{n - 1}$，$\therefore a_{n}=2\times3^{n - 1}-1$。
(2)由题设得$\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}}+1(n\geqslant2)$，$\therefore \frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{1}{2}+(n - 1)\times1=n-\frac{1}{2}$，$\therefore a_{n}=n\times2^{n}-2^{n - 1}$。