《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}$满足$S_{n}=\begin{cases}n^{2},n为奇数,\\2n,n为偶数.\end{cases}$求$\{ a_{n}\}$的通项公式．

答案： 解：当$n = 1$时，$a_{1}=1$；
当$n\geq3$且为奇数时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n^{2}-2(n - 1)=n^{2}-2n + 2$，$n = 1$也符合此式；
当$n\geq2$且为偶数时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2n-(n - 1)^{2}=-n^{2}+4n - 1$。
$\therefore a_{n}=\begin{cases}n^{2}-2n + 2,n为奇数,\\-n^{2}+4n - 1,n为偶数.\end{cases}$

6. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=3^{n}$，数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\frac{\log_{3}a_{n}}{a_{n}}$．
（1）求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式；
（2）判断数列$\{ b_{n}\}$的单调性．

答案： 解：
(1)$b_{n}=\frac{\log_{3}3^{n}}{3^{n}}=\frac{n}{3^{n}}$。
(2)$\because b_{n + 1}-b_{n}=\frac{n + 1}{3^{n + 1}}-\frac{n}{3^{n}}=\frac{n + 1-3n}{3^{n + 1}}=\frac{1 - 2n}{3^{n + 1}}＜0$对$n\in N^{*}$恒成立，$\therefore\{b_{n}\}$为递减数列。