《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 已知函数$f(x)=\sqrt[4]{x}$,则$f'(16)=$( ).
（A）0 （B）2 （C）$\frac{1}{8}$ （D）$\frac{1}{32}$

答案： D

2. 曲线$f(x)=\cos x$在点$(\frac{3\pi}{2},0)$处的切线方程为________________.

答案： $x - y-\frac{3\pi}{2}=0$

3. 若曲线$y=\log_{2}x$在点$(a,b)$处切线的斜率为$\frac{4}{\ln 2}$,则$b$的值为__________.

答案： - 2

4. 求曲线$y=\frac{1}{x}$与曲线$y=\sqrt{x}$的交点坐标,并分别求在该点处的两条曲线的切线方程.

答案： 解：联立$\begin{cases}y=\frac{1}{x}\\y = \sqrt{x}\end{cases}$，得$\frac{1}{x}=\sqrt{x}$，即$x = 1$，
可求得两条曲线的交点坐标为$(1,1)$.
由$k_{1}=(\frac{1}{x})'\big|_{x = 1}=-\frac{1}{x^{2}}\big|_{x = 1}=-1$，得曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(1,1)$处的切线方程为$x + y - 2 = 0$.
由$k_{2}=(\sqrt{x})'\big|_{x = 1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\big|_{x = 1}=\frac{1}{2}$，得曲线$y=\sqrt{x}$在点$(1,1)$处的切线方程为$x - 2y + 1 = 0$.

5. 已知抛物线$C_{1}:x^{2}=4y,C_{2}:x^{2}=-2py(p＞0)$. 点$M(1 - \sqrt{2},y_{0})$在抛物线$C_{2}$上,过点$M$作抛物线$C_{1}$的一条切线,切点为$A$,切线$MA$的斜率为$-\frac{1}{2}$,求$p$的值.

答案： 解：抛物线$C_{1}:x^{2}=4y$上任意一点$(x,y)$的切线斜率为$y'=\frac{x}{2}$，且切线$MA$的斜率为$-\frac{1}{2}$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,\frac{1}{4})$，
$\therefore$切线$MA$的方程为$y=-\frac{1}{2}(x + 1)+\frac{1}{4}$.
$\because$点$M(1-\sqrt{2},y_{0})$在切线$MA$及抛物线$C_{2}$上，
$\therefore y_{0}=-\frac{1}{2}(2-\sqrt{2})+\frac{1}{4}=-\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$，①
$y_{0}=-\frac{(1-\sqrt{2})^{2}}{2p}=-\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2p}$，②
由①②得$p = 2$.

6. 求过点$(2,0)$且与曲线$y=\frac{1}{x}$相切的直线方程.

答案： 解：$\because$点$(2,0)$不在曲线$y=\frac{1}{x}$上，
$\therefore$设切点为$P(x_{0},y_{0})$，切线斜率为$k$，
$\therefore k=y'\big|_{x = x_{0}}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$.
又$k=\frac{y_{0}-0}{x_{0}-2}=\frac{\frac{1}{x_{0}}}{x_{0}-2}=\frac{1}{x_{0}(x_{0}-2)}$，
$\therefore\frac{1}{x_{0}(x_{0}-2)}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$，$\therefore x_{0}=1$，$y_{0}=1$，
$\therefore$所求直线方程为$x + y - 2 = 0$.