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2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版
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5. 已知各项都是正数的数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}^{2}-a_{n - 1}^{2}-2(a_{n}+a_{n - 1})=0(n\geqslant2)$，$a_{2}=5$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
答案：
解:由已知得$(a_{n}+a_{n - 1})(a_{n}-a_{n - 1}-2)=0$.
$\because\{a_{n}\}$为各项都是正数的数列,$\therefore a_{n}=a_{n - 1}+2$.
又$a_{2}=5$,$\therefore\{a_{n}\}$为首项为 3,公差为 2 的等差数列,其通项公式为$a_{n}=2n + 1$.
$\because\{a_{n}\}$为各项都是正数的数列,$\therefore a_{n}=a_{n - 1}+2$.
又$a_{2}=5$,$\therefore\{a_{n}\}$为首项为 3,公差为 2 的等差数列,其通项公式为$a_{n}=2n + 1$.
6. 已知数列$\{ a_{n}\}$的各项都是正数，点$P(a_{n},-\frac{1}{a_{n + 1}})(n\in\mathbf{N}^{*})$在函数$f(x)=-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}$的图象上，且$a_{1}=1$，求$\{ a_{n}\}$的通项公式.
答案：
解:由已知得$-\frac{1}{a_{n + 1}}=-\sqrt{4+\frac{1}{a_{n}^{2}}}$,$\therefore\frac{1}{a_{n + 1}^{2}}-\frac{1}{a_{n}^{2}}=4$,
$\therefore\{\frac{1}{a_{n}^{2}}\}$为等差数列,$\therefore\frac{1}{a_{n}^{2}}=1+4(n - 1)=4n - 3$.
又$\{a_{n}\}$的各项都是正数,$\therefore a_{n}=\frac{1}{\sqrt{4n - 3}}$.
$\therefore\{\frac{1}{a_{n}^{2}}\}$为等差数列,$\therefore\frac{1}{a_{n}^{2}}=1+4(n - 1)=4n - 3$.
又$\{a_{n}\}$的各项都是正数,$\therefore a_{n}=\frac{1}{\sqrt{4n - 3}}$.
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