《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 在等差数列{aₙ}中，a₂ = 13，a₅ = 85，数列{aₙ}的前n项和为Sₙ.
(1)求Sₙ；
(2)求n - $\frac{Sₙ}{n²}$的最小值.

答案： 解：
(1)由已知得$d=\frac{85 - 13}{5 - 2}=24$，$\therefore a_{1}=-11$，
$\therefore S_{n}=-11n+\frac{n(n - 1)}{2}\times24=12n^{2}-23n$。
(2)设$f(n)=n-\frac{S_{n}}{n^{2}}=n+\frac{23}{n}-12$，由函数$y = x+\frac{23}{x}$的图象可知只需比较$f(4)$，$f(5)$的大小，而$f(4)=-\frac{9}{4}$，$f(5)=-\frac{12}{5}$，$\therefore$当$n = 5$时，$f(n)$的最小值为$-\frac{12}{5}$。

6. 已知数列{aₙ}的各项均为正数，记Sₙ为{aₙ}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{aₙ}是等差数列；②数列{$\sqrt{Sₙ}$}是等差数列；③a₂ = 3a₁.

答案： 解：选①②作条件证明③：
设$\sqrt{S_{n}}=an + b(a＞0)$，则$S_{n}=(an + b)^{2}$。
当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=(a + b)^{2}$；
当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=(an + b)^{2}-(an - a + b)^{2}=a(2an - a + 2b)$。
$\because\{a_{n}\}$是等差数列，$\therefore(a + b)^{2}=a(2a - a + 2b)$，解得$b = 0$，$\therefore a_{n}=a^{2}(2n - 1)$，$\therefore a_{2}=3a_{1}$。
选①③作条件证明②：
$\because a_{2}=3a_{1}$，$\{a_{n}\}$是等差数列，$\therefore$公差$d=a_{2}-a_{1}=2a_{1}$，
$\therefore S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=n^{2}a_{1}$，即$\sqrt{S_{n}}=\sqrt{a_{1}}n$。
$\because\sqrt{S_{n + 1}}-\sqrt{S_{n}}=\sqrt{a_{1}}(n + 1)-\sqrt{a_{1}}n=\sqrt{a_{1}}$，
$\therefore\{\sqrt{S_{n}}\}$是等差数列。
选②③作条件证明①：
设$\sqrt{S_{n}}=an + b(a＞0)$，则$S_{n}=(an + b)^{2}$。
当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=(a + b)^{2}$；
当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=(an + b)^{2}-(an - a + b)^{2}=a(2an - a + 2b)$。
$\because a_{2}=3a_{1}$，$\therefore a(3a + 2b)=3(a + b)^{2}$，
解得$b = 0$或$b=-\frac{4a}{3}$。
当$b = 0$时，$a_{1}=a^{2}$，$a_{n}=a^{2}(2n - 1)$，当$n\geqslant2$时，$a_{n}-a_{n - 1}=2a^{2}$满足等差数列的定义，此时$\{a_{n}\}$为等差数列；当$b=-\frac{4a}{3}$时，$\sqrt{S_{n}}=an + b=an-\frac{4a}{3}$，$\sqrt{S_{1}}=-\frac{a}{3}＜0$不合题意，舍去。
故$\{a_{n}\}$为等差数列。