《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

3. 给出四个函数：①$y = x$；②$y = x^{2}$；③$y = x^{3}$；④$y=\frac{1}{x}$．其中在区间$[1,1.3]$上的平均变化率最大的是________．(填序号)

答案： ③【提示】①中函数在区间$[1,1.3]$上的平均变化率为$\frac{1.3 - 1}{1.3 - 1}=1$；②中函数在区间$[1,1.3]$上的平均变化率为$\frac{1.69 - 1}{1.3 - 1}=2.3$；③中函数在区间$[1,1.3]$上的平均变化率为$\frac{2.197 - 1}{1.3 - 1}=3.99$；④中函数在区间$[1,1.3]$上的平均变化率为$\frac{\frac{1}{1.3}-\frac{1}{1}}{1.3 - 1}\approx - 0.77$。故在区间$[1,1.3]$上的平均变化率最大的是③

4. 设函数$f(x)=\begin{cases}3x^{2}+2,0\leqslant x＜3,\\29 + 3(x - 3)^{2},x\geqslant3.\end{cases}$求$f(x)$在$x = 1$和$x = 4$处的导数．

答案： 解：当$x = 1$时，$f(x)=3x^2 + 2$，$f(1+\Delta x)-f(1)=3(1+\Delta x)^2 + 2-(3 + 2)=6\Delta x+3(\Delta x)^2$，$\therefore f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{6\Delta x+3(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(6 + 3\Delta x)=6$。当$x = 4$时，$f(x)=3(x - 3)^2+29$，$f(4+\Delta x)-f(4)=3(4+\Delta x - 3)^2+29-3\times(4 - 3)^2-29=3(\Delta x)^2+6\Delta x$，$\therefore f'(4)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{3(\Delta x)^2+6\Delta x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(3\Delta x + 6)=6$

5. 一个做直线运动的物体，其位移$s$与时间$t$的关系是$s(t)=3t - t^{2}$($s$的单位是m，$t$的单位是s)．
（1）求该物体从$t = 0\ s$到$t = 2\ s$时的平均速度；
（2）求此物体的初速度．

答案： 解：
(1)$\overline{v}=\frac{s(2)-s(0)}{2}=\frac{6 - 4-0}{2}=1$
(2)$\frac{s(\Delta t)-s(0)}{\Delta t}=\frac{3\Delta t-(\Delta t)^2}{\Delta t}=3-\Delta t$。当$\Delta t\to0$时，$\frac{s(0+\Delta t)-s(0)}{\Delta t}\to3$，$\therefore v_0 = 3$

6. 已知做匀加速运动的物体的位移$s$(单位：m)与时间$t$(单位：s)之间的关系是$s = t + t^{2}$．求：
（1）物体在$t = 2\ s$时的瞬时速度；
（2）物体的加速度．

答案： 解：
(1)$v = s'(t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=1 + 2t$，$\therefore t = 2$时的瞬时速度$v = s'(2)=5(m/s)$
(2)物体的加速度$a=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=2(m/s^2)$