《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，$\{ b_{n}\}$是等比数列，且$a_{1}=b_{1}=c＞0$，$a_{2n + 1}=b_{2n + 1}$，比较$a_{n + 1}$与$b_{n + 1}$的大小.

答案： 解：设$a_n = a_1+(n - 1)d$，$b_n = b_1q^{n - 1}$，由已知可得$a_{2n + 1}=c + 2nd$，$b_{2n + 1}=cq^{2n}$.$\because a_{2n + 1}=b_{2n + 1}$，$\therefore c + 2nd = cq^{2n}$，$\therefore nd=\frac{cq^{2n}-c}{2}$，$\therefore a_{n + 1}-b_{n + 1}=c + nd - cq^n=\frac{c}{2}(q^n - 1)^2\geqslant0$，$\therefore a_{n + 1}\geqslant b_{n + 1}$.

6. 已知$\{ a_{n}\}$为等差数列，$\{ b_{n}\}$为等比数列，$a_{1}=b_{1}=1$，$a_{5}=5(a_{4}-a_{3})$，$b_{5}=4(b_{4}-b_{3})$.
(1)求$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式.
(2)记$d_{n}=3^{n}-2\times(-1)^{n}\lambda b_{n}(\lambda\neq0)$. 是否存在实数$\lambda$，使得对任意的$n\in\mathbf{N}^{*}$，恒有$d_{n + 1}＞d_{n}$？若存在，求出$\lambda$的取值范围；若不存在，说明理由.

答案： 解：
(1)设$\{a_n\}$的公差为$d$，结合题设可得$a_1 + 4d = 5d$. 又$a_1 = 1$，故$d = 1$，
$\therefore a_n = n$.
设$\{b_n\}$的公比为$q$且$q\neq0$，结合题设可得$b_1q^4 = 4b_1q^2(q - 1)$. 又$b_1 = 1$，故$q = 2$，$\therefore b_n = 2^{n - 1}$.
(2)由
(1)知，$d_n = 3^n-(-2)^n\lambda$，若对任意的$n\in\mathbf{N}^*$，恒有$d_{n + 1}\gt d_n$，
则$3^{n + 1}-(-2)^{n + 1}\lambda\gt3^n-(-2)^n\lambda$，即$(-2)^{n - 1}\lambda\lt3^{n - 1}$恒成立.
当$n$为奇数时，$\lambda\lt(\frac{3}{2})^{n - 1}$恒成立，而$(\frac{3}{2})^{n - 1}\geqslant1$，故当$\lambda\lt1$且$\lambda\neq0$时，存在$n\in\mathbf{N}^*$使其成立；
当$n$为偶数时，$\lambda\gt - (\frac{3}{2})^{n - 1}$恒成立，而$-(\frac{3}{2})^{n - 1}\leqslant-\frac{3}{2}$，故当$\lambda\gt-\frac{3}{2}$且$\lambda\neq0$时，存在$n\in\mathbf{N}^*$使其成立.
综上，存在实数$\lambda\in(-\frac{3}{2},0)\cup(0,1)$，使得对任意的$n\in\mathbf{N}^*$，恒有$d_{n + 1}\gt d_n$.