《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{n}$表示前$n$项和，若$a_{3}=2S_{2}+1$，$a_{4}=2S_{3}+1$，则公比$q$的值为( ).
(A)1
(B)$-1$
(C)$-3$
(D)3

答案： D

2. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形. 如图，以边长为4的正方形$ABCD$的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为( ).
(A)63
(B)64
(C)127
(D)128

答案： A

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的首项为2，且$a_{n + 1}-a_{n}=2^{n}$，则$a_{6}=( )$.
(A)255
(B)63
(C)64
(D)127

答案： C

4. 已知$\{ a_{n}\}$是首项为1的等比数列，$S_{n}$是$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$\frac{S_{10}}{S_{5}} = 33$，则数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$的前5项和为( ).
(A)$\frac{15}{8}$或5
(B)$\frac{31}{16}$或5
(C)$\frac{31}{16}$
(D)$\frac{15}{8}$

答案： C

5. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，前$n$项和为$S_{n}$，$S_{3}=56$，$S_{6}=63$，则使得$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}＜1$成立的最小正整数$n$的值为( ).
(A)10
(B)11
(C)12
(D)13

答案： C 

6. 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$a_{n}=\frac{1}{4}a_{n + 1}(n\in N^{*})$，则其前$n$项和$S_{n}=$__________.

答案： $4^{n}-1$

7. 记$S_{n}$为各项均为正数的等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{1}=1$，$4a_{3}=a_{5}$，则$S_{9}=$__________.

答案： 511

8. 已知各项均为正数且递减的等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{3}$，$3a_{4}$，$5a_{5}$成等差数列，则$\frac{a_{6}+a_{7}}{a_{8}+a_{9}}=$________.

答案： 25 

9. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2010$，公比$q = \frac{1}{3}$，若$b_{n}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}(n\in N^{*})$，则$b_{n}$达到最大时，$n$的值为________.

答案： 7 【提示】$\because a_{7}$=$2010\times\left(\frac{1}{3}\right)^{6}$=$\frac{670}{243}>1$，$a_{8}$=$2010\times\left(\frac{1}{3}\right)^{7}$=$\frac{670}{729}<1$，$\therefore b_{n}$达到最大时，
n = 7. 

10. 已知公比为$q(q ＞ 0)$的等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，给出下列命题：①若$a_{n + 1}＞a_{n}$，则$a_{1}＞0$，$q ＞ 1$；②若$a_{1}＞0$，则$a_{3}+a_{9}＞2a_{6}$；③若$S_{n}=2^{n + 2}+m$，则$m = - 1$；④$\frac{S_{2n}}{S_{n}}=1 + q^{n}$. 其中真命题的序号为________.

答案： ④