《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 用数学归纳法证明“$(3n + 1)\cdot7^{n}-1(n\in\mathbf{N}^*)$能被9整除”，在假设$n = k$时命题成立之后，需证明$n = k + 1$时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项( )能被9整除.
(A)$3\times7^{k}+6$
(B)$3\times7^{k + 1}+6$
(C)$3\times7^{k}-3$
(D)$3\times7^{k + 1}-3$

答案： B

2. 已知$n$为正偶数，用数学归纳法证明$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n}=2(\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 4}+\cdots+\frac{1}{2n})$时，若已假设$n = k(k\geqslant2,k$为偶数$)$时命题成立，则还需要用归纳假设证$n =$________时等式成立.

答案： $k + 2$

3. 已知$f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}(n\in\mathbf{N}^*)$，计算得$f(2)=\frac{3}{2},f(4)\gt2,f(8)\gt\frac{5}{2},f(16)\gt3,f(32)\gt\frac{7}{2}$，由此推测，当$n\gt2$时，有______________.

答案： $f(2^{n})＞\frac{n + 2}{2}$

4. 在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=0,a_{n + 1}=\frac{1}{2 - a_{n}}(n\in\mathbf{N}^*)$.
(1)写出$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$，猜想这个数列的通项公式$a_{n}$；
(2)用数学归纳法证明所得的结论.

答案：
(1)在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=0$，$a_{n + 1}=\frac{1}{2 - a_{n}}(n\in\mathbf{N}^{*})$。
当$n = 1$时，$a_{2}=\frac{1}{2 - a_{1}}=\frac{1}{2}$；
当$n = 2$时，$a_{3}=\frac{1}{2 - a_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$；
当$n = 3$时，$a_{4}=\frac{1}{2 - a_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{3}{4}$；
$\therefore a_{1}=0$，$a_{2}=\frac{1}{2}$，$a_{3}=\frac{2}{3}$，$a_{4}=\frac{3}{4}$，猜测$a_{n}=\frac{n - 1}{n}$。
(2)①当$n = 1$时，$a_{1}=0=\frac{1 - 1}{1}$，
$\therefore n = 1$时，等式成立；
②假设当$n = k(k\in\mathbf{N}^{*})$时，等式成立，即$a_{k}=\frac{k - 1}{k}$，
则$a_{k + 1}=\frac{1}{2 - a_{k}}=\frac{1}{2-\frac{k - 1}{k}}=\frac{k}{k + 1}$，
$\therefore n = k + 1$时，等式成立。
综合①和②，可知对于任意的$n\in\mathbf{N}^{*}$，$a_{n}=\frac{n - 1}{n}$均成立。