《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 函数$f(x)=x^{3}-3x - 6$的单调递减区间是( ).
(A)$(-\infty,-1)$ (B)$(-1,1)$ (C)$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ (D)$(1,+\infty)$

答案： B

2. 函数$f(x)=x + 2\cos x$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$上的单调递减区间是( ).
(A)$(0,\frac{\pi}{3})$ (B)$(0,\frac{\pi}{2})$
(C)$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$ (D)$(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$

答案： C【提示】$f^{\prime}(x)=1 - 2\sin x$，令$f^{\prime}(x)＜0$，得$\frac{\pi}{6}+2k\pi＜x＜\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，$\therefore f(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$上的单调递减区间是$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$。

3. 函数$f(x)=-2\ln x - x-\frac{3}{x}$的单调递增区间是( ).
(A)$(0,+\infty)$ (B)$(-3,1)$
(C)$(0,1)$ (D)$(1,+\infty)$

答案： C

4. 设函数$f(x)$在定义域内可导，其图象如图所示，则其导函数$f'(x)$的图象可能是( ).

答案： D【提示】由函数$f(x)$的图象可知，当$x＜0$时，函数$f(x)$是增函数，$\therefore f^{\prime}(x)＞0$；当$x＞0$时，函数$f(x)$先增后减再增，$\therefore f^{\prime}(x)$先大于0后小于0再大于0。

5. 已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx + c(a,b,c\in\mathbf{R})$，若$a^{2}-3b\lt0$，则$f(x)$( ).
(A)是减函数
(B)是增函数
(C)是常数函数
(D)既不是增函数也不是减函数

答案： B【提示】$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax + b$，方程$3x^{2}+2ax + b = 0$的根的判别式$\Delta = 4(a^{2}-3b)＜0$，$\therefore f^{\prime}(x)＞0$在$\mathbf{R}$上恒成立，即$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数。

6. 函数$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{x}+2$的单调递减区间是____________________.

答案： $(-\infty,0)$和$(0,1)$【提示】$f^{\prime}(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}}(x\neq0)$，令$f^{\prime}(x)＜0$，得$x＜1$。又$x\neq0$，$\therefore f(x)$的单调递减区间是$(-\infty,0)$和$(0,1)$。

7. 函数$f(x)=x\cos x-\sin x$在区间$(0,2\pi)$上的单调递增区间是__________.

答案： $(\pi,2\pi)$【提示】$f^{\prime}(x)=-x\sin x$，当$x\in(\pi,2\pi)$时，$f^{\prime}(x)=-x\sin x＞0$。

8. 若函数$f(x)=x^{3}-ax^{2}-x + 6$在区间$(0,1)$上单调递减，则实数$a$的取值范围是__________.

答案： $[1,+\infty)$【提示】$\because f^{\prime}(x)=3x^{2}-2ax - 1$，又$f(x)$在区间$(0,1)$上单调递减，$\therefore 3x^{2}-2ax - 1\leqslant0$在区间$(0,1)$上恒成立，$\therefore a\geqslant\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$。令$h(x)=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$，则$h^{\prime}(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2x^{2}}$，$h(x)$在区间$(0,1)$上单调递增。故$a\geqslant h(1)=1$。

9. 若函数$f(x)=x^{2}-a\ln x$在区间$(1,2)$上是单调函数，则实数$a$的取值范围是____________.

答案： $(-\infty,2]\cup[8,+\infty)$【提示】$f^{\prime}(x)=2x-\frac{a}{x}$，当$f(x)$在区间$(1,2)$上单调递增时，$f^{\prime}(x)\geqslant0$在区间$(1,2)$上恒成立。当$x\in(1,2)$时，$2x-\frac{a}{x}\geqslant0$恒成立，即$a\leqslant2x^{2}$。令$g(x)=2x^{2}$，$\because g(x)$在区间$(1,2)$上单调递增，$\therefore g(x)＞g(1)=2$，$\therefore a\leqslant2$。当$f(x)$在区间$(1,2)$上单调递减时，$f^{\prime}(x)\leqslant0$在区间$(1,2)$上恒成立。同理可得$a\geqslant8$。综上可知，$a\in(-\infty,2]\cup[8,+\infty)$。

10. 若函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$在区间$(a,a + 1)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是__________.

答案： $[0,e - 1]$【提示】函数的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$。令$f^{\prime}(x)＞0$，得$0＜x＜e$，由题意，得$\begin{cases}a\geqslant0\\a + 1\leqslant e\end{cases}$，解得$0\leqslant a\leqslant e - 1$。