《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

11. 求曲线$y=\sqrt{3}-2\sin x$在点$(\frac{\pi}{3},0)$处的切线方程.

答案： 解：$\because y'=-2\cos x$，$\therefore$曲线在点$(\frac{\pi}{3},0)$处的切线斜率为$-1$，$\therefore$切线方程为$y - 0 =-(x - \frac{\pi}{3})$，即$3x + 3y-\pi = 0$。

5. 求曲线$y=\frac{1}{x^{2}}+3x^{2}-5$在点$P(1,-1)$处的切线方程.

答案： 解：$\because y'=-\frac{2}{x^{3}}+6x$，切线的斜率$k = 4$，$\therefore$所求切线方程为$y + 1 = 4(x - 1)$，即$4x - y - 5 = 0$。

6. 已知$a\in\mathbf{R}$,函数$f(x)$为可导函数,函数$F(x)=xf(x)-f'(a)x^{2}$在$x = a$处的导数$F'(a)=0$,证明曲线$y = f(x)$在点$(a,f(a))$处的切线经过原点.

答案： 证明：$F'(x)=f(x)+xf'(x)-2f'(a)x$，$F'(a)=f(a)+af'(a)-2af'(a)$，即$F'(a)=f(a)-af'(a)$。由$F'(a)=0$，得$f(a)=af'(a)$，$\therefore$曲线$y = f(x)$在点$(a,f(a))$处的切线方程为$y - f(a)=f'(a)(x - a)$，即$y = f'(a)x$，$\therefore$曲线$y = f(x)$在点$(a,f(a))$处的切线经过原点。