《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10. [2024大同第六中学模拟改编]酷爱龙舟运动的小宇在观看龙舟比赛时，想要测算龙舟的速度，如图，BN为河岸，起点线BM与河岸BN垂直，小宇在河岸BN上距起点线25 m的点A处放置水平测角仪，起点线上一点C处为龙舟龙头，测得AC与河岸BN所成的角∠1=37°，龙舟沿与河岸BN平行的赛道出发10 s，龙头恰好到达点D处，测得AD与河岸BN所成的角∠2=45°，且点A，B，C，D，M，N均在同一平面内，则该龙舟的平均速度约为______m/s.

(结果精确到0.1 m/s，借助科学计算器算三角函数值)

答案： 4.4

11. (1) 用“＞”或“＜”号填空(可用计算器计算)：
sin 10°·cos 80° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 20°·cos 70° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 30°·cos 60° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 40°·cos 50° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 50°·cos 40° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 60°·cos 30° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 70°·cos 20° - $\frac{1}{2}$ ______ 0；
sin 80°·cos 10° - $\frac{1}{2}$ ______ 0.
(2) 对于任意的锐角A和B(∠A + ∠B = 90°)，请你猜想sin A·cos B - $\frac{1}{2}$与0的大小关系.(无需证明)

答案： 解:
(1)$＜$;$＜$;$＜$;$＜$;$＞$;$＞$;$＞$;$＞$.
(2)当$0^{\circ}＜\angle A＜45^{\circ}$时，$\sin A\cdot\cos B-\frac{1}{2}＜0$;
　当$\angle A = 45^{\circ}$时，$\sin A\cdot\cos B-\frac{1}{2}=0$;当$45^{\circ}＜\angle A＜90^{\circ}$时，$\sin A\cdot\cos B-\frac{1}{2}＞0$.

12. [跨学科·物理·2024晋城沁水县二模]材料阅读：
光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射. 我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率(n)，即n = $\frac{sinα}{sinβ}$，已知光线从空气进入水中时的折射率为$\frac{4}{3}$.

问题解答：
如图，横截面为矩形ABCD的水槽盛满了水，一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得∠NOQ = 37°，NQ = 12 cm. 若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求CQ的长. (结果精确到0.1 cm，借助科学计算器算三角函数值)

答案：
解:在$Rt\triangle ONQ$中，$\angle NOQ = 37^{\circ}$，$\tan\angle NOQ=\frac{NQ}{ON}$，$\therefore ON=\frac{NQ}{\tan37^{\circ}}\approx12\div0.75 = 16(\mathrm{cm})$.由题意，可得$\frac{\sin\angle POM}{\sin\angle NOQ}=\frac{4}{3}$.$\therefore\sin\angle POM=\frac{4}{3}\times\sin37^{\circ}\approx\frac{4}{3}\times0.60 = 0.8$.$\because P,O,C$三点在同一条直线上，$\therefore\angle POM=\angle CON$.$\therefore\sin\angle POM=\sin\angle CON=\frac{CN}{OC}=0.8$.设$CN = 4x$，则$OC = 5x$，由勾股定理得，$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=3x = 16$，解得$x=\frac{16}{3}$，$\therefore CN=\frac{64}{3}\mathrm{cm}$，$\therefore CQ=CN - NQ=\frac{64}{3}-12\approx9.3(\mathrm{cm})$.答：$CQ$的长约为$9.3\mathrm{cm}$.