《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10. 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，sin A = $\frac{4}{5}$，则cos C的值为（ ）

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{3}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： B

11. 如图，在6×5的正方形网格中，点A，O，B都在格点上，则tan ∠AOB的值为（ ）
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： B

12. 如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 5，BC = 12，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则tan ∠ADB = __________.

答案： $\frac{4}{7}$
详解:过点B作AC的垂线，垂足为M,
在Rt△ABC中,
AC = $\sqrt{5^{2}+12^{2}}$ = 13,
又
∵S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$AB·BC = $\frac{1}{2}$AC·BM,
∴BM = $\frac{AB·BC}{AC}$ = $\frac{60}{13}$.
在Rt△ABM中,
AM = $\sqrt{5^{2}-(\frac{60}{13})^{2}}$ = $\frac{25}{13}$.
∵BD平分△ABC的周长,
∴AB + AD = $\frac{1}{2}$×(5 + 12 + 13) = 15,
∴AD = 15 - 5 = 10,
∴DM = 10 - $\frac{25}{13}$ = $\frac{105}{13}$.
在Rt△BDM中,
tan∠ADB = $\frac{BM}{DM}$ = $\frac{4}{7}$.

13. 如图，在△ABC中，∠CAB = 60°，AC:AB = 2:3，BC = $\sqrt{7}$.求sin ∠ABC的值.

答案： 解:如图，过点C作CD⊥AB于D,设AD = a.
在Rt△ACD中,
∵∠A = 60°,AD = a,
∴AC = 2a,CD = $\sqrt{3}$a,
∵AC:AB = 2:3,
∴AB = 3a,
∴DB = 2a.
在Rt△CDB中,
($\sqrt{3}$a)^{2}+(2a)^{2}=($\sqrt{7}$)^{2},
解得a = 1(负值舍去),
∴CD = $\sqrt{3}$,BD = 2,
∴sin∠ABC = $\frac{CD}{BC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ = $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

14. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 5，CD是△ABC的高，则cos ∠BCD的值是（ ）

A. $\frac{12}{13}$
B. $\frac{13}{12}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{5}{13}$

答案： A

15. 如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）
A. 2
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： A

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F. 若BC = 4，△AEF的面积为5，求sin ∠CEF的值.

答案： 解:如图,连接BF.
∵CE是斜边AB上的中线,EF⊥AB,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴EF为△ABF的中线,BF = AF,
∴S_{△AFE} = S_{△BFE} = 5,∠FBA = ∠A,
∴S_{△AFB} = 10 = $\frac{1}{2}$AF·BC,
∵BC = 4,
∴AF = 5 = BF.
在Rt△BCF中,BC = 4,BF = 5,
∴CF = $\sqrt{BF^{2}-BC^{2}}$ = 3,
∵CE = AE = BE = $\frac{1}{2}$AB,
∴∠A = ∠FBA = ∠ACE,
又
∵∠BCA = 90° = ∠BEF,
∴∠FBC = 90° - ∠BFC = 90° - 2∠A,
∠CEF = 90° - ∠BEC = 90° - 2∠A,
∴∠CEF = ∠FBC,
∴sin∠CEF = sin∠FBC = $\frac{CF}{BF}$ = $\frac{3}{5}$.