《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

11.已知$A(-2, y_{1})、B(-4, y_{2})、C(3, y_{3})$是抛物线$y = ax^{2}+9(a ＜ 0)$上的三个点，比较$y_{1}、y_{2}、y_{3}$的大小，正确的是 （ ）
A. $y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3}$
B. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
C. $y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2}$
D. $y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2}$

答案： D

12.函数$y = ax^{2}+c$与$y = ax + c(a \neq 0)$在同一平面直角坐标系内的图象大致是 （ ）
　　　　
　　　　

答案： B

13.如图是函数①$y = ax^{2}$，②$y = bx^{2}$，③$y = cx^{2}$，④$y = dx^{2}$的图象，比较$a，b，c，d$的大小：__________.(用“＞”连接)
　　　　　　

答案： $a ＞ b ＞ d ＞ c$

14.如图，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+c$与$x$轴交于$A、B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$\triangle ABC$是等腰直角三角形，求抛物线的表达式.
　

答案： 解：当$x = 0$时，$y = c$，
当$y = 0$时，$x = \pm\sqrt{2c}$，
$\therefore A(-\sqrt{2c},0),B(\sqrt{2c},0),C(0,c)$，
$\therefore OA = OB = \sqrt{2c}$，$OC = c$，
$\because\triangle ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore OA = OC = OB$，
即$c = \sqrt{2c}$，$\therefore c^{2}-2c = 0$，
解得$c_{1}=2$，$c_{2}=0$(舍去)，
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2$.

15.[2023朔州开发区元博中学月考改编]小明同学遇到一个问题：已知$A，B$两点坐标分别为(2, 4),(0, 1)，点$M$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}$上运动，求$AM + BM$的最小值. 为此他查阅并摘录了一些资料.
请阅读资料并帮助小明解决问题.
资料一：
我们把平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$（$l$不经过点$F$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
　　　　　　
资料二：
如图，以$A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$为端点的线段可以看作直角边边长分别为$|x_{2}-x_{1}|$和$|y_{2}-y_{1}|$的直角三角形的斜边，故$AB = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
　　　　
设点$M(m, \frac{1}{4}m^{2})$.
(1)用含有$m$的式子表示$BM =$__________；
(2)根据(1)中的结果分析，抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}$上的点与定点$B(0, 1)$和平行于$x$轴的定直线$y =$__________的距离相等；
(3)当$m =$__________时，$AM + BM$取得最小值，最小值为__________.

答案：
(1)$\frac{1}{4}m^{2}+1$
(2)-1
(3)2；5
详解：
(1)$BM=\sqrt{m^{2}+(\frac{1}{4}m^{2}-1)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}m^{4}+\frac{1}{2}m^{2}+1}=\frac{1}{4}m^{2}+1$.
(2)$\because$点M在x轴上方，其纵坐标为$\frac{1}{4}m^{2}$，
$\therefore$点M到x轴的距离为$\frac{1}{4}m^{2}$，
$\because BM=\frac{1}{4}m^{2}+1$，
$\therefore$点M到平行于x轴的定直线的距离为$\frac{1}{4}m^{2}+1$.
$\therefore$平行于x轴的定直线为$y = -1$.
(3)由
(2)和资料可知，$AM + BM$等于A，M两点间的距离与点M到直线$y = -1$的距离之和，显然，当AM垂直于直线$y = -1$时距离之和最小，最小距离之和为点$A(2,4)$到直线$y = -1$的距离，即当$m = 2$时，$AM + BM$取最小值，为$4-(-1)=5$.