《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 4，AC = 2$\sqrt{3}$，则∠B的度数为（ ）

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

答案： C

2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 2$\sqrt{3}$，则∠A = ______°，AB = ______.

答案： 30; 4√3

3. [教材P17习题1变式]在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
(1) $a = \sqrt{6}$，$c = 2\sqrt{3}$；
(2) $a = \frac{1}{3}$，$b = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

答案： 解:
(1)在Rt△ABC中, 由勾股定理得,
b = √(c² - a²) = √((2√3)² - (√6)²) = √6.
在Rt△ABC中, sin A = a/c = √6/(2√3) = √2/2,
∴∠A = 45°,
∴∠B = 45°.
(2)在Rt△ABC中, 由勾股定理得,
c = √(a² + b²) = √((1/3)² + (√3/9)²) = 2√3/9.
在Rt△ABC中, sin B = b/c = (√3/9)/(2√3/9) = 1/2,
∴∠B = 30°,
∴∠A = 60°.

4. 在△ABC中，∠C = 90°，AB = 6，∠A = 60°，则AC的长为（ ）
A. 3
B. 3$\sqrt{2}$
C. 3$\sqrt{3}$
D. 2$\sqrt{3}$

答案： A

5. 在△ABC中，∠C = 90°，BC = 24，∠B = 30°，则AC = __________.

答案： 8√3

6. [教材P17习题2变式]在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
(1) $c = 5$，∠B = 45°；
(2) $b = 15$，∠B = 60°.

答案： 解:
(1) 在Rt△ABC中, ∠C = 90°, ∠B = 45°,
∴∠A = 45°.
∵sin B = b/c, c = 5,
∴b = c·sin B = 5×sin 45° = 5√2/2.
∵cos B = a/c, c = 5,
∴a = c·cos B = 5×cos 45° = 5√2/2.
(2) 在Rt△ABC中, ∠C = 90°, ∠B = 60°,
∴∠A = 30°.
∵sin B = b/c, b = 15,
∴c = b/sin B = 15/sin 60° = 10√3.
∵tan B = b/a, b = 15,
∴a = b/tan B = 15/tan 60° = 5√3.

7. 如图，坡角为37°的斜坡上有两棵树，它们的水平距离为12 m，高度都是4 m. 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多远？两棵树顶端的高度差约为多少？（参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$）

答案： 解: 小鸟飞行的最短路径是沿平行于AB的方向径直从下面树的顶端飞到上面树的顶端, 此时飞行距离即AB的长度.
在Rt△ABC中, AB = AC÷cos 37°≈12÷0.80 = 15(m).
已知两棵树的高度相同, 所以顶端的高度差等于底端A, B的高度差, 即BC的长度.
在Rt△ABC中, BC = AC·tan 37°≈12×0.75 = 9(m).
所以小鸟至少要飞15 m, 两棵树顶端的高度差约为9 m.