《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

7. 如图，矩形ABCD中，AB = 2 cm，AD = 5 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t s. 连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF的面积最小为（ ）

A. $\frac{3}{2}$ cm²
B. $\frac{3}{4}$ cm²
C. $\frac{4}{5}$ cm²
D. $\frac{8}{5}$ cm²

答案： 详解：
∵四边形PCEF是正方形，
∴$S_{\triangle PCD}+S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}S_{正方形PCEF}$，
由题意得$PD=(5 - t)\text{ cm}$，$CD = AB = 2\text{ cm}$，
∴$S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}\times2(5 - t)=(5 - t)\text{cm}^2$．
在$Rt\triangle PCD$中，$PC^{2}=PD^{2}+CD^{2}=(5 - t)^{2}+4=t^{2}-10t + 29$，
∴$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}(t^{2}-10t + 29)-(5 - t)=\frac{1}{2}t^{2}-4t+\frac{19}{2}=\frac{1}{2}(t - 4)^{2}+\frac{3}{2}$，
∵$\frac{1}{2}＞0$，
∴当$t = 4$时，$S_{\triangle DEF}$最小，为$\frac{3}{2}\text{cm}^2$．

8. [2023太原一模]如图，某校的围墙由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的两端A、B间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为__________米.

答案： 0.2

9. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为2 m处达到最高，高度为5 m，水柱落地处离池中心6 m，则水管长应为多少?

答案：
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．

由题意知点$(2,5)$是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的表达式为$y = a(x - 2)^{2}+5(0\leqslant x\leqslant6)$．
将$(6,0)$代入表达式，
可得$0 = a(6 - 2)^{2}+5$，

解得$a = -\frac{5}{16}$．
因此$y = -\frac{5}{16}(x - 2)^{2}+5(0\leqslant x\leqslant6)$．
当$x = 0$时，$y = 3.75$，所以水管长应为3.75 m．

10. 如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t(s).
(1) AP = ______，BP = ______，BQ = ______.
(2) t为何值时，△PBQ的面积为32 cm²?
(3) t为何值时，△PBQ的面积最大?

答案： 解：
(1)由题意得，$AP = 2t\text{ cm}$，$BQ = 4t\text{ cm}$．
∵$AB = 12\text{ cm}$，
∴$BP = AB - AP=(12 - 2t)\text{ cm}$，
故答案为$2t\text{ cm}$；$(12 - 2t)\text{ cm}$；$4t\text{ cm}$．
(2)
∵$BQ = 4t\text{ cm}$，$BP=(12 - 2t)\text{cm}$，$\angle B = 90^{\circ}$，
∴$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}BP\cdot BQ=\frac{1}{2}\times(12 - 2t)\cdot4t=(-4t^{2}+24t)\text{cm}^2$，
即$S_{\triangle PBQ}=-4t^{2}+24t$，
由题意得，$-4t^{2}+24t = 32$，
整理得，$t^{2}-6t + 8 = 0$，
解得$t_1 = 2$，$t_2 = 4$．
答：当t的值是2 s或4 s时，$\triangle PBQ$的面积为$32\text{ cm}^2$．
(3)由
(2)可知，$S_{\triangle PBQ}=-4t^{2}+24t=-4(t - 3)^{2}+36$，
∵$-4＜0$，
∴当$t = 3$时，$\triangle PBQ$的面积取最大值，为36．
答：当t为3 s时，$\triangle PBQ$的面积最大．