《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

11.在△ABC中，AB = 4，AC = $\sqrt{13}$，∠B = 60°，则BC = ________.

答案： 1或3

12.若锐角A、B满足$\left|\sin A - \frac{\sqrt{3}}{2}\right| + (\cos B - \frac{1}{2})^2 = 0$，则△ABC是 （ ）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形

答案： D

13.[2024大同平城区一模]如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD = 20 cm，AB = 160 cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度(点D到底座BC的距离)为 （ ）

A. 80$\sqrt{2}$ cm
B. 80$\sqrt{3}$ cm
C. (80$\sqrt{2}$ + 20)cm
D. (80$\sqrt{3}$ + 10)cm

答案： D

14.如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1,0)、(0, $\sqrt{3}$)，且∠ABC = 90°，∠A = 30°，则顶点A的坐标是________.

答案： (4,$\sqrt{3}$)

15.[2024晋中平遥县二模改编]已知锐角A，B满足sin (4A - 5B) = $\frac{1}{2}$，tan (2A - B) = $\sqrt{3}$，则计算$(\frac{1}{2})^{-2} + 2\sin A - (\sqrt{2} - 1)^0 - \sqrt[3]{27} - \tan^2 B$的值为________.

答案： $\sqrt{2}-\frac{1}{3}$

16.[2024晋中介休市期中改编]图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小强锻炼时上半身由ON位置运动到与底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知ON = 0.7米，∠α = 30°，则M、N两点间的距离是多少米? (结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41)

答案： 解:如图,过点N作NF⊥MO,交MO的延长线于点F.
由题意得,OM = ON = 0.7米,NF//BE,
∴∠ANF = ∠ABE = ∠α = 30°.
在Rt△ONF中,
∠FON = 90° - ∠ANF = 60°,
FN = ON·cos 30°=$\frac{7\sqrt{3}}{20}$(米).
∵∠FON是△MON的一个外角,
∴∠FON = ∠OMN + ∠ONM,
∵OM = ON,
∴∠OMN = ∠ONM=$\frac{1}{2}$∠FON = 30°.
在Rt△MFN中,MN = FN÷sin 30°=$\frac{7\sqrt{3}}{10}$≈1.2(米),
∴M、N两点间的距离约为1.2米.

17.[数形结合]数学小组探究这样一道题：已知tan α = 2，tan β = $\frac{1}{3}$，求∠α - ∠β的度数. 该组的同学经过思考后，画出如图所示的5×3的小正方形网格，把∠α和∠β放在网格中，使∠BAC = ∠α，∠DAC = ∠β，连接BD，得到△ABD，此时，根据网格可知，AD = BD，∠ADB = 90°. 由此可知，∠α - ∠β = 45°. 该小组的这种求解方法体现了数形结合思想. 请用类似的方法探究：已知tan α = $\frac{1}{2}$，tan β = $\frac{1}{3}$，那么∠α + ∠β = ________.

答案： 45°