《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

3. 已知点$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$都在抛物线$y = x^{2}$上，且$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$，则$y_{1}$，$y_{2}$的大小关系是（ ）
A. $y_{1} ＜ y_{2}$
B. $y_{1} = y_{2}$
C. $y_{1} ＞ y_{2}$
D. 无法确定

答案： C

11. 下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，$y$随$x$的增大而增大的函数是（ ）
A. $y = -x$
B. $y = 3 - 2x$
C. $y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$
D. $y = x^{2}(x ＞ 0)$

答案： D

12. 已知点$(-1,y_{1})$，$(-3,y_{2})$，$(2,y_{3})$都在抛物线$y = x^{2}$上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是（ ）
A. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
B. $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
C. $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$
D. $y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$

答案： B

13. [第12题变式]已知点$(-1,y_{1})$，$(1,y_{2})$，$(3,y_{3})$在下列某一函数的图象上，且$y_{1} = y_{2} ＞ y_{3}$，那么这个函数是（ ）
A. $y = 3x$
B. $y = -\frac{3}{x}$
C. $y = x^{2}$
D. $y = -x^{2}$

答案： D

14. 如图是边长为4的正方形和函数$y = x^{2}$与$y = -x^{2}$的图象，则阴影部分的面积是______.
　　　　　　

答案： 8

15. [原创题]已知$A$，$B$是抛物线$y = x^{2}$上异于原点$O$的两个点(点$A$位于第一象限)，且$\triangle OAB$是等边三角形，求点$B$的坐标.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解:由抛物线$y = x^{2}$关于$y$轴对称,且点$O$在$y$轴上,可知等边三角形$OAB$关于$y$轴对称,即$AB$垂直于$y$轴.
设点$A$的坐标为$(n,n^{2})(n ＞ 0)$,则点$B$的坐标为$(-n,n^{2})$,如图,将$AB$与$y$轴的交点记为$C$,则$AB = 2n$,$AC = n$,$OC = n^{2}$.
$\because\triangle OAB$是等边三角形,
$\therefore\angle OAB = 60^{\circ}$.
在$Rt\triangle OCA$中,$\tan\angle OAC=\frac{OC}{AC}=\frac{n^{2}}{n}=n$,
$\therefore n = \tan60^{\circ}=\sqrt{3}$.
$\therefore$点$A$的坐标为$(\sqrt{3},3)$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(-\sqrt{3},3)$.

16. 如图，已知点$A_{1}$，$A_{2}$，$\cdots$，$A_{2024}$在函数$y = x^{2}$位于第二象限的图象上，点$B_{1}$，$B_{2}$，$\cdots$，$B_{2024}$在函数$y = x^{2}$位于第一象限的图象上，点$C_{1}$，$C_{2}$，$\cdots$，$C_{2024}$在$y$轴正半轴上，四边形$OA_{1}C_{1}B_{1}$，$C_{1}A_{2}C_{2}B_{2}$，$\cdots$，$C_{2023}A_{2024}C_{2024}B_{2024}$都是正方形.
(1) 求正方形$OA_{1}C_{1}B_{1}$和正方形$C_{1}A_{2}C_{2}B_{2}$的边长；
(2) 正方形$C_{2}A_{3}C_{3}B_{3}$的边长为________，根据已求出的正方形边长的规律，则正方形$C_{2023}A_{2024}C_{2024}B_{2024}$的边长为________.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)根据正方形的对角线相等且互相垂直平分,可设$B_{1}(n_{1},n_{1})$,
$\because$点$B_{1}$在$y = x^{2}$的图象上,
$\therefore n_{1}=n_{1}^{2}$,解得$n_{1}=1$或$n_{1}=0$(舍).
$\therefore B_{1}(1,1)$,$\therefore OB_{1}=\sqrt{2}$,即正方形$OA_{1}C_{1}B_{1}$的边长为$\sqrt{2}$.
$\therefore OC_{1}=2$.
同理可设$B_{2}(n_{2},n_{2}+2)$,将$(n_{2},n_{2}+2)$代入$y = x^{2}$得,
$n_{2}+2=n_{2}^{2}$,解得$n_{2}=2$或$n_{2}=-1$(舍).
$\therefore B_{2}(2,4)$,$\therefore C_{1}B_{2}=2\sqrt{2}$,即正方形$C_{1}A_{2}C_{2}B_{2}$的边长为$2\sqrt{2}$.
(2)$3\sqrt{2}$;$2024\sqrt{2}$.