《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

8. 在△ABC中，∠ABC = 30°，AB = $\sqrt{3}$，AC = 1，则∠ACB的度数为__________.

答案： 60°或120°

9. 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，∠A = 120°，则BC的长是（ ）

A. 8
B. 5$\sqrt{2}$
C. 5$\sqrt{3}$
D. $\frac{10\sqrt{3}}{3}$

答案： C

10. [2024朔州一模]如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时 时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处. 若OA = 10，则点A的坐标为（ ）

A. (5$\sqrt{3}$, 5)
B. (5, 5$\sqrt{3}$)
C. (5$\sqrt{2}$, 5$\sqrt{2}$)
D. (5$\sqrt{3}$, 5$\sqrt{2}$)

答案： A

11. 如图，已知∠ACB = 90°，AC = 10，OB = 17，$\cos \angle OBC = \frac{3}{5}$，则点C的坐标为（ ）

A. (8, $\frac{27}{4}$)
B. (8, 12)
C. (6, $\frac{33}{4}$)
D. (6, 10)

答案：
B
详解: 如图所示, 过点C作CD⊥x轴于点D, CE⊥y轴于点E,

∵∠ACB = 90°, ∠AOB = 90°,
∴∠OBC + ∠OAC = 180°,
∵∠EAC + ∠OAC = 180°,
∴∠EAC = ∠OBC,
∵AC = 10, cos ∠OBC = 3/5,
∴cos ∠EAC = EA/AC = cos ∠OBC = 3/5,
∴EA = 6,
∴EC = √(AC² - EA²) = 8,
∴OD = EC = 8.
∵OB = 17,
∴BD = 9,
∵cos ∠OBC = BD/CB = 3/5,
∴CB = 15,
∴CD = √(CB² - DB²) = √(15² - 9²) = 12,
∴C(8, 12).

12. 如图，在□ABCD中，∠AOB = 120°，BD = 20，则□ABCD的面积为__________.

答案： 50√3

13. [2024达州改编]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°. 点D在线段BC上，∠BAD = 45°. 若$\tan \angle ADC = 4$，CD = 1，求△ABC的面积.

答案： 解: 如图, 延长AD, 过点B向AD的延长线作垂线, 垂足记为E,
则有∠BDE = ∠ADC, tan ∠BDE = tan ∠ADC = 4.
在Rt△ACD中, tan ∠ADC = 4, CD = 1,
∴AC = CD·tan ∠ADC = 4,
∴AD = √(AC² + CD²) = √17.
在Rt△BED中, 设DE = x, 则BE = DE·tan ∠BDE = 4x,
∴BD = √(BE² + DE²) = √17x.
在Rt△BEA中, ∠BAD = 45°,
∴AE = BE = 4x,
又
∵AE = AD + DE = √17 + x,
∴4x = √17 + x,
解得x = √17/3,
∴BD = √17x = 17/3,
∴BC = BD + CD = 17/3 + 1 = 20/3,
∴S△ABC = 1/2 AC·BC = 40/3.

14. [推理能力·2024太原三模]如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 2，过点C作CD₁⊥AB于D₁，过点D₁作D₁D₂⊥AC于D₂，过点D₂作D₂D₃⊥AB于D₃，过点D₃作D₃D₄⊥AC于D₄，……，按此方法得到的D₇D₈的长为__________.

答案： 81/256详解: 根据∠ACB = 90°, ∠A = 30°, 得到∠B = 60°, BC = 1/2 AB = 1.
∵CD₁⊥AB,
∴∠BCD₁ = 30°,在△BCD₁中, ∠BD₁C = 90°, BC = 1, 则CD₁ = √3/2,进而在△CD₁D₂中,有D₁D₂ = √3/2 CD₁ = (√3/2)²,进而可得, D₂D₃ = (√3/2)³, ……则线段DₙDₙ₊₁ = (√3/2)ⁿ⁺¹.
∴D₇D₈ = (√3/2)⁸ = 81/256.