《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

1. [2024晋中多校模拟]“忠义”是构成中华民族精神特质和文化品格的重要组成部分，东汉名将关羽是中华传统忠义文化的代表和典范.如图1所示的是坐落于山西运城常平村关公故里的“关帝圣像”.圣像展示的是关帝一手提青龙偃月刀，一手捋美髯飘须，伟岸挺拔.某数学兴趣小组开展了测量“关帝圣像”雕塑高度的实践活动.具体过程如下：如图2，“关帝圣像”雕塑AB位于垂直于地面的基座BC上，基座BC高19 m，身高1.7 m的小明DE在雕塑前方的E处测得“关帝圣像”头顶A的仰角为68°，测得“关帝圣像”脚底B的仰角为29°，求“关帝圣像”雕塑AB的高度.（A，B，C三点在同一直线上，AC⊥CD，结果精确到1 m.参考数据：sin 29°≈0.48，cos 29°≈0.87，tan 29°≈0.55，sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48）
　　　　　　　　　

答案： 解:如图,过点E作EF⊥AC于点F,则四边形FCDE是矩形,
∴EF = CD,FC = ED.
∵BC = 19 m,DE = 1.7 m,
∴BF = BC - FC = BC - DE = 19 - 1.7 = 17.3(m).
在Rt△BEF中,∠BEF = 29°,BF = 17.3 m,
∵tan∠BEF = $\frac{BF}{EF}$,
∴EF = $\frac{BF}{tan29^{\circ}}$≈$\frac{17.3}{0.55}$≈31.45(m).
在Rt△AEF中,∠AEF = 68°,
∵tan∠AEF = $\frac{AF}{EF}$,
∴AF = EF·tan68°≈31.45×2.48≈78.0(m).
∴AB = AF - BF = 78.0 - 17.3 = 60.7≈61(m).
答:“关帝圣像”雕塑AB的高度约为61 m.

2. 中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD = EF = 1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.
　　　　　　　　　参考数据：sin 53°≈$\frac{4}{5}$，cos 53°≈$\frac{3}{5}$，tan 53°≈$\frac{4}{3}$
　　　　　　　　　　

答案： 解:如图,过点D作DG⊥AH于G,连接FG,则四边形CDGH是矩形,
∴GH = CD = 1.6 m,DG = CH,
∵CD = EF = 1.6 m,
∴GH = EF.由题意可得GH⊥CE,EF⊥CE,
∴GH//EF,
∴四边形EFGH是矩形,
∴FG = HE,∠HGF = 90°,
∴∠DGH + ∠FGH = 180°,
∴D,G,F三点共线,
∴DF = DG + FG = CH + HE = CE = 182 m.设AG = x m,在Rt△ADG中,tan∠ADG = $\frac{AG}{DG}$,
∴tan45° = $\frac{x}{DG}$,
∴DG = x m.在Rt△AFG中,tan∠AFG = $\frac{AG}{FG}$,
∴tan53° = $\frac{x}{FG}$,
∴FG≈$\frac{3}{4}x$ m.
∴x + $\frac{3}{4}x$ = 182,解得x = 104,
∴AG = 104 m,
∴AH = AG + GH = 105.6 m.答:风电塔筒AH的高度约为105.6 m.