《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10.[2024临汾一模]项目化学习
项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，减少强烈的紫外线对人体皮肤的损伤. 遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“兴趣实践小组”通过反复测量得出以下具体数据，并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图。
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请阅读并完成任务。
|项目|内容|
| ---- | ---- |
|项目主题|遮阳伞下的影子|
|项目素材|我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表：
＜table＞＜tr＞＜td＞时刻＜/td＞＜td＞12:00＜/td＞＜td＞13:00＜/td＞＜td＞14:00＜/td＞＜td＞15:00＜/td＞＜td＞16:00＜/td＞＜td＞17:00＜/td＞＜/tr＞＜tr＞＜td＞太阳光线与地面的夹角(度)＜/td＞＜td＞90＜/td＞＜td＞80＜/td＞＜td＞65＜/td＞＜td＞50＜/td＞＜td＞35＜/td＞＜td＞20＜/td＞＜/tr＞＜/table＞
参考数据：$\sin65^{\circ}\approx0.91$，$\cos65^{\circ}\approx0.42$，$\sin50^{\circ}\approx0.77$，$\cos50^{\circ}\approx0.64$，$\sin15^{\circ}\approx0.26$，$\cos15^{\circ}\approx0.97$，$\sqrt{2}\approx1.4$，$\sqrt{3}\approx1.7$|
|示意图|![img id=1]
![img id=2]|
|测量数据|如图，某款遮阳伞的立柱$AC$垂直于地面$AB$，$P$为立柱上的滑动调节点，$CF$为悬托支杆，$F$为$PD$的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为$\triangle PDE$，$DP$、$DE$为伞体支架，且$DP = DE$，测量得到$AC = 2.8$米，$PD = 2$米，$CF = 1$米，$\angle DPE = 15^{\circ}$|
|项目结果|“智慧小组”：
如图1，12：00时，太阳光线与地面垂直，将点$P$的位置进行适当调整，使$PE// AB$，遮阳效果最佳
“创新小组”：
如图2，14：00时，调整点$P$的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与$PE$垂直时，遮阳效果最佳|

任务一：如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得，当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆$CF$与伞体支架$DE$的关系是______________.
任务二：如图2，请你参照“创新小组”的项目结果进行计算：(计算结果均精确到0.1米)
①求立柱上的滑动调节点$P$离地面$AB$的距离约为多少米；
②当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子$BQ$的长.

答案：
解:任务一:$CF// DE,CF = \frac{1}{2}DE$.
详解:$\because AB// PE,AC\perp AB$,
$\therefore PE\perp AC$,
$\therefore \angle CPE = 90^{\circ}$.
$\because \angle DPE = 15^{\circ}$,
$\therefore \angle CPF = 75^{\circ}$,
$\because PD = 2$米,点$F$为$PD$的中点,
$\therefore PF=\frac{1}{2}PD = 1$米,
$\therefore CF = PF=\frac{1}{2}PD$,
$\therefore \angle FCP=\angle FPC = 75^{\circ}$,
$\therefore \angle CFD=\angle FCP+\angle FPC = 150^{\circ}$.
$\because PD = ED$,
$\therefore \angle DPE=\angle DEP = 15^{\circ}$,
$CF=\frac{1}{2}DE$,
$\therefore \angle D = 180^{\circ}-\angle DPE-\angle DEP = 150^{\circ}$,
$\therefore \angle D=\angle CFD$,
$\therefore CF// DE$,
$\therefore CF// DE,CF=\frac{1}{2}DE$.
任务二:①如图所示,过点$P$作$PH// AB$交$BE$于$H$,过点$F$作$FG\perp AC$于$G$.
由题意得,$\angle ABE = 65^{\circ},\angle PEH = 90^{\circ}$,
$\because PH// AB$,
$\therefore \angle EHP=\angle ABE = 65^{\circ}$,
$\therefore \angle EPH = 25^{\circ}$,
由任务一可知$\angle CPH = 90^{\circ}$,
$CF = PF = 1$米,
又$\because \angle DPE = 15^{\circ}$,
$\therefore \angle FPC = 50^{\circ}$.
$\because CF = PF = 1$米,$FG\perp AC$,
$\therefore PC = 2PG$.
在$Rt\triangle PFG$中,$PG = PF\cdot\cos\angle FPG = 1\cdot\cos50^{\circ}\approx0.64$(米)
$\therefore PC = 2PG = 1.28$米
$\therefore PA = AC - PC\approx1.5$米,
$\therefore$立柱上的滑动调节点$P$离地面$AB$的距离约为$1.5$米.
②$BQ$的长约为$4.3$米.
详解:如图所示,过点$P$作$PH// AB$交$BE$于$H$,过点$D$作$DK\perp PE$于$K$.
$\because DP = DE$,
$\therefore PE = 2PK$,
在$Rt\triangle DPK$中,$PK = PD\cdot\cos\angle DPK = 2\cdot\cos15^{\circ}\approx1.94$(米)
$\therefore PE = 2PK = 3.88$米.
在$Rt\triangle PHE$中,$PH=\frac{PE}{\sin\angle PHE}=\frac{3.88}{\sin65^{\circ}}\approx4.3$(米).
$\because PQ// BH,PH// BQ$,
$\therefore$四边形$PQBH$是平行四边形,
$\therefore BQ = PH = 4.3$米,
$\therefore$伞体在地面上留下的影子$BQ$的长约为$4.3$米.