《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10. [2023忻州静乐县一模]如图，AB为半圆O的直径，四边形ABCD是平行四边形，点D在半圆O上，CD与半圆O交于点M. 若$AO = AD = 4\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为 （ ）

A. $24\sqrt{3}$ B. $48\sqrt{3}$ C. 16π D. $8\pi+12\sqrt{3}$

答案：
A
详解:连接OM,MB,作DH⊥AO于H,
 
∵AO=AD,OA=OD,
∴AO=AD=OD=4√3,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠AOD=∠A=60°
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD//AB,BC=AD
∴∠MDO=∠DOA = 60°
∵OD=OM,
∴△ODM是等边三角形,
∴DM=OM=OD
∴四边形AOMD是菱形，
同理，△MOB是等边三角形，
∵∠C=∠A=60°,∠CMB=∠MBO=60°,
∴△BMC是等边三角形
∴弓形DPM的面积=弓形MQB的面积,
∴阴影部分的面积=菱形AOMD的面积.
∵DH=AD·sin 60° = 4√3×√3/2 = 6,
∴菱形AOMD的面积=AO·DH=4√3×6 = 24√3,
∴阴影部分的面积=24√3

11. 如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，$ME\perp AB$于点E，$NF\perp AB$于点F. 在下列结论中：① $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BN}$；② $ME = NF$；③ $AE = BF$；④ $ME = 2AE$. 正确的是__________.（填写全部正确结论的序号）

答案： ①②③

12. [2024南通海门区期末]如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则$AP + BP$的最小值是__________.

答案：
√2
详解:连接OB.
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON=180°÷3=60°,
∵点B是⌢AN的中点，
∴∠BON=1/2∠AON=30°.
如图，作点A关于直径MN的对称点A',连接OA',A'B,

根据轴对称可知∠A'ON=∠AON=60°,A'P=AP,
∴线段A'B的长度即为AP+BP的最小值.
在△A'OB中，∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°,OA'=OB=1,
∴A'B=√(OA'² + OB²)=√2
∴AP+BP的最小值为√2

13. 如图，在⊙O中，AB、CD是直径，$CE// AB$且交圆于点E，求证：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$.

答案：
证明:如图，连接OE.

∵CE//AB,
∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,
∴∠C=∠E,
∴∠DOB=∠BOE,
∴⌢BD = ⌢BE.

14. 如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且$OE = OF$.
(1) 求证：$AE = BF$；
(2) 求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

答案：
证明:
(1)过点O作OM⊥AB于点M,连接OA、OB.

∵OM⊥AB,OA=OB,OE=OF,
∴AM=BM,EM=FM,
∴AM−EM=BM−FM,
即AE=BF.
(2)
∵OM⊥AB,OA=OB,OE=OF,
∴∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM,
∴∠AOM - ∠EOM = ∠BOM - ∠FOM,
即∠AOC = ∠BOD,
∴⌢AC = ⌢BD.

15. 如图，点A，B，C，D均在⊙O上，且满足$\angle AOD+\angle BOC=\angle DOC$.
(1) 求证：$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
(2) $AD + BC = CD$成立吗？为什么？

答案：
解:
(1)证明:如图,在⌢CD上截取⌢DE = ⌢AD,连接OE,则∠DOE=∠DOA.

∵∠AOD+∠BOC=∠DOC,
∴∠BOC=∠DOC−∠AOD=∠DOC−∠DOE=∠COE,
∴⌢BC = ⌢EC,
∵⌢DE + ⌢EC = ⌢CD,
∴⌢AD + ⌢BC = ⌢CD.
(2)AD+BC=CD不成立.理由如下:如图,连接DE,EC,则DE=AD,EC=CB.

∵在△CDE中,DE+EC＞DC,
∴AD+BC＞CD,
∴AD+BC=CD不成立.