《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

9. 在Rt△ABC中，AC = 8，BC = 6，则cos A的值为__________.

答案： $\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$

10. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（ ）

A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： B

11. [2024资阳]第14届国际数学教育大会(ICME - 14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD. 若EF : AH = 1 : 3，则sin∠ABE = （ ）

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： C

12. [2023大同云州区期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E，tan A = $\frac{4}{3}$，则cos∠DBE的值为__________.

答案： $\frac{24}{25}$

13. 如图，已知在△ABC中，AD⊥BD，垂足为点D，BD = 2，CD = 12，tan C = $\frac{2}{3}$，点E是边AC的中点.
(1)求边AB的长；
(2)求∠EBC的正弦值.

答案：
解：
(1)$\because AD\perp BC$，
$\therefore\triangle ADB,\triangle CDA$均为直角三角形.
$\because$在$Rt\triangle CDA$中，$CD = 12,\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{2}{3}$，
$\therefore AD=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\times12 = 8$.
在RT△ADB中，由勾股定理得，$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+8^{2}}=2\sqrt{17}$.
(2) 如图，过点$E$作$EF\perp BC$，垂足为$F$.

$\because AD\perp BC,EF\perp BC$，
$\therefore AD// EF$，
又$\because$点$E$是边$AC$的中点，
$\therefore\frac{CF}{FD}=\frac{CE}{EA}=1$，
即点$F$是边$CD$的中点，
$\therefore DF = FC=\frac{CD}{2}=6,EF$是$\triangle ADC$的中位线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AD = 4$，
$\therefore BF = BD+DF = 8$，
$\therefore BE=\sqrt{BF^{2}+EF^{2}}=4\sqrt{5}$.
在$Rt\triangle BEF$中，$\sin\angle EBC=\frac{EF}{BE}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

14. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的非负半轴上，cos∠AOB = $\frac{3}{5}$. 反比例函数y = $\frac{24}{x}$在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积 = __________.

思路点拨：本题考查余弦的定义、菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是想到△AOF面积是菱形OACB面积的一半.

答案： 20