《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

1.[2024晋城陵川县三模节选]综合与探究：如图，已知抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 6$与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交线段BC于点E，过点P作PF⊥BC，垂足为F.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求PF的最大值及此时点P的坐标.

答案： 解：
(1)
∵抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 6$，
∴当$x = 0$时，$y = 6$，
当$y = 0$时，$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 6 = 0$，解得$x_{1} = -4$，$x_{2} = 6$，
∴$A(-4, 0)$，$B(6, 0)$，$C(0, 6)$．
(2) 设直线$BC$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，
把$B(6, 0)$，$C(0, 6)$代入得，
$\begin{cases}6k + b = 0\\b = 6\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = -1\\b = 6\end{cases}$．
∴直线$BC$的表达式为$y = -x + 6$．
设点$P(m, -\frac{1}{4}m^{2}+\frac{1}{2}m + 6)$，则点$E(m, -m + 6)$，
∴$PE = -\frac{1}{4}m^{2}+\frac{1}{2}m + 6 - (-m + 6)=-\frac{1}{4}m^{2}+\frac{3}{2}m$．
∵$B(6, 0)$，$C(0, 6)$，
∴$OB = OC = 6$，
∴$\angle OCB = 45^{\circ}$，
∵$PD\perp x$轴，
∴$PD// OC$，
∴$\angle PEF = \angle OCB = 45^{\circ}$，
在$Rt\triangle PEF$中，
$PF = PE\cdot\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}PE=\frac{\sqrt{2}}{2}\times(-\frac{1}{4}m^{2}+\frac{3}{2}m)=-\frac{\sqrt{2}}{8}(m - 3)^{2}+\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∴当$m = 3$时，$PF$的值最大，最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，此时点$P(3,\frac{21}{4})$．

2.[2024大同三模节选]综合与探究：如图，抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过点A(-1, -1)和点B(3, 3)，点P是线段AB上一动点(不与A，B重合)，直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；
(2)当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ的周长的最大值.

答案： 解：
(1) 将$A(-1, -1)$和$B(3, 3)$代入$y = x^{2}+bx + c$得，
$\begin{cases}1 - b + c = -1\\9 + 3b + c = 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b = -1\\c = -3\end{cases}$．
∴抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-x - 3$．
设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + n$，
则有$\begin{cases}-k + n = -1\\3k + n = 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 1\\n = 0\end{cases}$．
∴直线$AB$的函数表达式为$y = x$．
(2) 四边形$PCDQ$如图所示．
∵$y = x^{2}-x - 3=(x - \frac{1}{2})^{2}-\frac{13}{4}$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = \frac{1}{2}$．
∵点$P$的横坐标为$m$，
∴点$P$的坐标为$(m, m)$，点$Q$的坐标为$(m, m^{2}-m - 3)$．
由题易知四边形$PCDQ$为矩形，
∴$CD = PQ = m - m^{2}+m + 3 = -m^{2}+2m + 3$，$PC = QD = m-\frac{1}{2}$，
∴四边形$PCDQ$的周长为
$2(-m^{2}+2m + 3 + m-\frac{1}{2})=-2m^{2}+6m + 5$，
∵$-2\lt0$，
∴当$m = -\frac{6}{2\times(-2)}=\frac{3}{2}$时，四边形$PCDQ$的周长有最大值，最大值为$-2\times(\frac{3}{2})^{2}+6\times\frac{3}{2}+5=\frac{19}{2}$．