《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

6. [2024北京昌平区二模节选]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 过点C作AB的垂线交其延长线于点E，若BD = 6，tan∠OAB = $\frac{3}{4}$，求CE的长.

答案： 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$OB = OD=\frac{1}{2}BD = 3$，$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，BD⊥AC。在Rt△AOB中，$\tan\angle OAB=\frac{3}{4}$，OB = 3，
∴$OA=\frac{OB}{\tan\angle OAB}=4$。在Rt△ACE中，$\tan\angle OAB=\frac{3}{4}$，
∴$AE=\frac{CE}{\tan\angle OAB}=\frac{4}{3}CE$，
∴$AC=\sqrt{CE^{2}+AE^{2}}=\sqrt{CE^{2}+(\frac{4}{3}CE)^{2}}=\frac{5}{3}CE$。又
∵AC = 2OA = 8，
∴$\frac{5}{3}CE = 8$，
∴$CE=\frac{24}{5}$。

7. [2024大同第六中学模拟改编]如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 6，点D是边AC上的一点，且AD = 2CD，连接BD，过点C作CE⊥AC交BD的延长线于点E，求DE的长.

答案：
解：如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F。
∵在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 6，
∴$AC = 3\sqrt{5}$，
∴$\sin A=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$BF = AB\cdot\sin A = 3\times\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$AF = AB\cdot\cos A=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
∵AD = 2CD，
∴$AD=\frac{2}{3}AC = 2\sqrt{5}$，$DC=\frac{1}{3}AC=\sqrt{5}$，
∴$DF = AD - AF = 2\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$。
∵∠EDC = ∠FDB，
∴$\tan\angle EDC=\tan\angle FDB$，
∵BF⊥AC，EC⊥CD，
∴$\frac{EC}{CD}=\frac{BF}{DF}$，即$\frac{EC}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{\frac{7\sqrt{5}}{5}}$，
∴$EC=\frac{6\sqrt{5}}{7}$，
∴$DE=\sqrt{DC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(\frac{6\sqrt{5}}{7})^{2}}=\frac{5\sqrt{17}}{7}$。

8. 如图，在△ABC中，sin A = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC = BC = 5，D是线段AC上一点，若tan∠DBA = $\frac{1}{4}$，则AD的长为 （ ）

A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. 1

答案： A

9. 如图，在△ABC中，∠BAC = 120°，AC = 6，AB = 4，则BC的长是 （ ）

A. 6$\sqrt{2}$
B. 2$\sqrt{19}$
C. 2$\sqrt{13}$
D. 9

答案： B

10. [2022山西百校联考模拟]如图，在Rt△ABC中，AB = BC = 4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD的长为__________.

答案：
$2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$
详解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，

∵△ABD是等边三角形，
∴BD = AB = AD = 4，∠ABD = 60°。
∴∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 30°。 
∵DE⊥BC，
∴$DE=\frac{1}{2}BD = 2$，$BE = BD\cdot\cos 30^{\circ}=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∴$CE = BC - BE = 4 - 2\sqrt{3}$。
∵DE⊥BC，
∴$CD=\sqrt{DE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{2^{2}+(4 - 2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{32 - 16\sqrt{3}}=2\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}=2\sqrt{8 - 2\sqrt{12}}=2\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$。

11. [2024临夏]如图，在△ABC中，AB = AC = 5，sin B = $\frac{4}{5}$，则BC的长是 （ ）

A. 3
B. 6
C. 8
D. 9

答案： B

12. 如图，在△ABC中，AB = 6，∠B = 15°，∠C = 135°，则AC的长为 （ ）

A. 2$\sqrt{3}$ - 3
B. 3$\sqrt{2}$ - 3
C. 3$\sqrt{3}$ - 3$\sqrt{2}$
D. 3$\sqrt{3}$ - 3

答案： D