《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

12. [2023郴州]已知抛物线$y = x^{2}-6x + m$与$x$轴有且只有一个交点，则$m = $________.

答案： 9

13. [第12题变式1·2024晋城期末改编]已知二次函数$y = kx^{2}-2x - 1$的图象与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是__________.

答案： $k\geq - 1$且$k\neq0$

14. [第12题变式2]抛物线$y = - 2x^{2}-3x + k$在$x$轴下方，则$k$的取值范围是__________.

答案： $k＜-\frac{9}{8}$

15. [第12题变式3]已知函数$y = ax^{2}-6x + 2$的图象与$x$轴有且只有一个交点，则$a = $________.

答案： 4.5或0

16. 方程$-x^{2}+6x - 8 = 0$的解是__________，结合函数$y = - x^{2}+6x - 8$的图象，不等式$-x^{2}+6x - 8＞0$的解集是__________.

答案： $x_1 = 2,x_2 = 4;2＜x＜4$

17. [2024大同灵丘县期末改编]阅读材料，完成任务：
图象法解一元二次方程
我们知道，一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其实，解一元二次方程还有另外一种很有趣的方法——图象法，顾名思义，即通过观察图象得到方程的解的一种方法，下面举一个例子加以说明.
例：解方程$x^{2}-2x - 3 = 0$.
方法一：如图1，我们在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图象. 通过观察图象发现，该二次函数的图象与$x$轴有两个交点，分别是$(-1,0)$和$(3,0)$，因此可得一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的解为$x_{1} = - 1,x_{2} = 3$.
方法二：将$x^{2}-2x - 3 = 0$变形为$x^{2}=2x + 3$. 所以原方程的解可以转化为二次函数$y = x^{2}$的图象与直线$y = 2x + 3$交点的横坐标.

任务：(1)用图象法解一元二次方程体现的数学思想是__________.
A. 数形结合思想
B. 分类讨论思想
C. 公理化思想
D. 类比思想
(2)图2是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象，请你在同一平面直角坐标系中，画出一次函数$y = x + 1$的图象，并直接写出一元二次方程$ax^{2}+(b - 1)x + c - 1 = 0$的解和不等式$ax^{2}+(b - 1)x + c - 1＞0$的解集.
(3)实际上，除用图象法解一元二次方程外，初中数学还有一些问题可以用图象法解决. 例如：用图象法求一元一次方程的解. 请你再举出一例，并加以实例说明.

答案：
解：
(1)A.
(2)一次函数$y = x + 1$的图象如图，

观察图象，$y = x + 1$与$y = ax^2 + bx + c$的图象的交点坐标为$(-1,0)$和$(4,5)$，
所以方程$ax^2 + bx + c = x + 1$的解为$x = - 1$或$x = 4$，即一元二次方程$ax^2+(b - 1)x + c - 1 = 0$的解为$x = - 1$或$x = 4$.
不等式$ax^2+(b - 1)x + c - 1＞0$，即$ax^2 + bx + c＞x + 1$，根据图象可确定解集为$x＜-1$或$x＞4$.
(3)答案不唯一.如用图象法解二元一次方程组.实例：一次函数$y = x + 2$与$y = - 3x + 6$的图象如图，

观察图象，两直线的交点为$(1,3)$，所以方程组$\begin{cases}y = x + 2\\y = - 3x + 6\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$