《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D是BC的中点，AC = 6，tan ∠ABC = $\frac{1}{2}$，则BD = （ ）

A. 8
B. 6
C. 4
D. 3

答案： B

11. [2023运城盐湖区期末]如图，在5×6的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan ∠ABC的值为（ ）

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： C

12. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，那么tan θ的值为（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： A

13. [2021山西]太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通. 如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i = 5:12（i为铅直高度与水平宽度的比). 王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为________米.

答案： $\frac{100}{13}$

14. 如图，你认为AB，DE哪一段山坡更陡一些? 为什么?

答案： 解:DE段山坡更陡一些.理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 50m，BC = 30m，
根据勾股定理得AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}} = 40(m)$，
∴$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$.
在Rt△DEF中，∠DFE = 90°，DE = 50m，EF = 40m，
根据勾股定理得DF = $\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{50^{2}-40^{2}} = 30(m)$，
∴$\tan D=\frac{EF}{DF}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$
∵$\frac{3}{4}$＜$\frac{4}{3}$，
∴DE段山坡更陡一些.

15. 矩形ABCD中，AB = 10，BC = 8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE翻折，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan ∠AFE的值.

答案： 解:∠AFE + ∠EFC + ∠BFC = 180°.由折叠的性质，得∠EFC = ∠EDC = 90°，
即∠AFE + ∠BFC = 90°，
在Rt△BCF中，∠BCF + ∠BFC = 90°，所以∠AFE = ∠BCF.
在Rt△BFC中，BC = 8，根据矩形和折叠的性质，得CF = CD = AB = 10，由勾股定理可得
BF = $\sqrt{CF^{2}-BC^{2}} = 6$，
则$\tan\angle BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{4}$，
所以$\tan\angle AFE=\tan\angle BCF=\frac{3}{4}$.

16. [推理能力·2024运城期末]如图，已知l1//l2//l3，相邻两条平行直线间的距离相等，△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB = 90°，∠CAB = 45°，则tan α的值是________.

答案： 详解:如图，过点A作$l_{1}$的垂线，垂足为D，过点B作$l_{1}$、$l_{3}$的垂线，垂足分别为E、F.设$l_{1}$、$l_{2}$之间的距离为a，则$l_{2}$与$l_{3}$之间的距离也为a.
∵∠ACB = 90°，∠CAB = 45°，
∴∠DCA + ∠ECB = 90°，AC = CB，
∵∠DCA + ∠DAC = 90°，
∴∠ECB = ∠DAC，
∵∠ADC = ∠CEB，AC = CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CE = AD = 2a，DC = EB = a，
∴AF = DE = 3a，
∵BF = a，
∴$\tan\alpha=\frac{BF}{AF}=\frac{1}{3}$.