《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

11.[2024运城多校联考模拟]对于抛物线$y = 2x^{2} - 4x - 6$，按下列方式平移后的抛物线仍不经过原点的是（ ）
A. 向左平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移10个单位长度
C. 向右平移2个单位长度，再向下平移10个单位长度
D. 向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度

答案： D

12.已知二次函数$y = -x^{2} + 2x$，当$-1 ＜ x ＜ m$时，$y$随$x$的增大而增大，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $m ＞ 1$
B. $-1 ＜ m \leq 1$
C. $m ＞ 0$
D. $-1 ＜ m ＜ 2$

答案： B

13.[第12题变式·对称轴固定→对称轴不固定]已知二次函数$y = -x^{2} + (2m - 2)x + 5$，当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $m \leq 2$
B. $m ＜ 2$
C. $m ＞ 2$
D. $m \geq 2$

答案： A

14.[2024吕梁中阳县期末改编]如图，抛物线$y = x^{2} + bx + c$与$x$轴交于$A，B$两点，与$y$轴的正半轴交于点$C$，$OB = OC$，则$b + c =$__________.
　　　　　

答案： -1

15.汽车刹车后行驶的距离$s$(单位：米)与行驶的时间$t$(单位：秒)的函数表达式为$s = -6t^{2} + mt$.已知$t = 0.5$时，$s = 6$.
(1)求$s$关于$t$的函数表达式.
(2)汽车从刹车到停下来用了多少秒？滑行了多少米？

答案： 解：
(1)把$t = 0.5$，$s = 6$代入$s=-6t^{2}+mt$得，$6=-6\times0.5^{2}+0.5m$，
解得$m = 15$.
$\therefore s=-6t^{2}+15t$.
(2)汽车停下来时，行驶的距离最大.
$s=-6t^{2}+15t=-6\left(t-\dfrac{5}{4}\right)^{2}+\dfrac{75}{8}$，
$\because -6＜0$，
$\therefore$当$t=\dfrac{5}{4}$时，$s=\dfrac{75}{8}$.
$\therefore$汽车从刹车到停下来用了$\dfrac{5}{4}$秒，滑行了$\dfrac{75}{8}$米.

16.[2023晋城一中期中]如图，已知抛物线$y = -x^{2} + 2x + 3$与$x$轴交于$A、B$两点(点$A$在点$B$的左侧)，与$y$轴交于点$C$.
(1)求$A、B、C$的坐标.
(2)在抛物线的对称轴上找一点$P$，使点$P$到点$A$的距离与到点$C$的距离之和最短，求点$P$的坐标.
(3)在抛物线上是否存在点$M$，使$\triangle MBC$是以$BC$为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点$M$的横坐标；若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)当$x = 0$时，$y = 3$，
$\therefore C(0,3)$.
当$y = 0$时，$-x^{2}+2x + 3 = 0$，
解得$x=-1$或$x = 3$，
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$.
(2)连接$BC$，交抛物线对称轴于点$P$，易知$PA = PB$，此时$AP + CP$的值最小.
设直线$BC$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，把点$B$，$C$的坐标代入得
$\begin{cases}3k + b = 0,\\b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b = 3,\end{cases}$
$\therefore y=-x + 3$，
又抛物线的对称轴为直线$x = 1$，
把$x = 1$代入$y=-x + 3$，得$y = 2$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(1,2)$.
(3)存在.点$M$的横坐标为$\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$或$\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$.
详解：由$B(3,0)$、$C(0,3)$得$BC$中点的坐标为$\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)$，由题意知点$M$在$BC$的中垂线上，易得$BC$的中垂线的表达式为$y = x$，令$x=-x^{2}+2x + 3$，解得$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$，即点$M$的横坐标为$\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$或$\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$.