《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10. [2024吕梁一模]如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD//BC，若∠BAC = α，则∠BAD的度数可以表示为（ ）


A. 2α
B. 90° - α
C. 45° - α/2
D. 45° + α/2

答案： C

11. [教材P84习题3变式]如图，点A、B、C在⊙O上，P为BC上任意一点，点B、P、D共线，点C、P、E共线，若∠A = α，则∠D + ∠E等于（ ）
A. 2α
B. 90° - α/2
C. 180° - 2α
D. 45° + α/2

答案： C

12. [2024大同第六中学模拟]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC. 若∠ADC = 115°，则∠CAE的度数为（ ）


A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 35°

答案： B

13. [2024运城一模改编]如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，C，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为13，AB = 24，则cos C的值是__________.

答案： $\frac{5}{13}$

14. 如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC. 若AC = 4，BC = 3，则sin ∠BOC的值是__________.

答案：
$\frac{24}{25}$
详解：如图，过点C作$CH\perp AB$于H，

∵AB是直径，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∵$AC = 4$，$BC = 3$，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，
∴$CH=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴$\sin\angle BOC=\frac{CH}{OC}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{5}{2}}=\frac{24}{25}$.

15. 如图，AB是⊙O的直径，△ACD的顶点都在⊙O上，CD = DB，AB，CD的延长线相交于点E，且DE = AD.
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数.

答案：
解：
(1)证明：
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$\angle CAD=\angle DAB$，
∵$DE = AD$，
∴$\angle DAB=\angle E$，
∴$\angle CAD=\angle E$，
又
∵$\angle C=\angle C$，
∴$\triangle CAD\backsim\triangle CEA$.
(2)如图，连接BD.

∵AB为直径，
∴$\angle ADB = 90^{\circ}$，
设$\angle CAD=\angle DAB=\alpha$，
则$\angle CAE = 2\alpha$，
由
(1)知$\triangle CAD\backsim\triangle CEA$，
∴$\angle ADC=\angle CAE = 2\alpha$，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴$\angle CAB+\angle CDB = 180^{\circ}$，
即$2\alpha+2\alpha + 90^{\circ}=180^{\circ}$，
解得$\alpha = 22.5^{\circ}$，
∴$\angle ADC = 2\times22.5^{\circ}=45^{\circ}$.

16. 如图，由边长为1的小正方形组成的6×7网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，BC，AC是⊙O的两条弦，且点A，B，C都是格点. 仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
在圆上找一点M，使BC = BM，简要说明点M的位置是如何找到的(不要求证明).

答案：
解：如图，连接AB，连接点C与格点D，CD交圆于点M，M即为所求点.