《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a = 2$\sqrt{6}$，b = 6$\sqrt{2}$，解这个直角三角形.

答案： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{2})^{2}} = 4\sqrt{6}$。在Rt△ABC中，$\tan B=\frac{b}{a}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\sqrt{3}$，
∴∠B = 60°，
∴∠A = 30°。

2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a = 2$\sqrt{10}$，c = 4$\sqrt{5}$，解这个直角三角形.

答案： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，$b = \sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-(2\sqrt{10})^{2}} = 2\sqrt{10}$。\sqrt{c²−a²}" page="4" src="https://thumb.zyjl.cn/pdf/13/page_108.jpg?x-oss-process=image/crop,x_0,y_0,w_1140,h_1576/crop,x_794,y_624,w_82,h_122/contrast,3"> 在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{10}}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠B = 45°，
∴∠A = 45°。

3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a = $\sqrt{6}$，∠B = 30°，解这个直角三角形.

答案： 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，
∴∠A = 60°。
∵$\cos B=\frac{a}{c}$，$a = \sqrt{6}$，
∴$c=\frac{a}{\cos B}=\frac{\sqrt{6}}{\cos 30^{\circ}} = 2\sqrt{2}$。
∵$\tan B=\frac{b}{a}$，$a = \sqrt{6}$，
∴$b = a\cdot\tan B=\sqrt{6}\cdot\tan 30^{\circ}=\sqrt{2}$。

4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，∠A = 60°，解这个直角三角形.

答案： 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 60°，
∴∠B = 30°。
∵$\sin A=\frac{BC}{AB}$，AB = 10，
∴$BC = AB\cdot\sin A = 10\times\sin 60^{\circ}=5\sqrt{3}$。
∵$\cos A=\frac{AC}{AB}$，AB = 10，
∴$AC = AB\cdot\cos A = 10\times\cos 60^{\circ}=5$。

5. (1)[2023临汾多校月考节选]在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，tan A = $\frac{2}{3}$，求AB的长.
(2)在Rt△ABC中，∠C = 90°，sin B = $\frac{3}{5}$，BC = 8，求AC和AB的长.

答案： 解：
(1)在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∵$\tan A=\frac{BC}{AC}$，AC = 6，
∴$BC = AC\cdot\tan A = 6\times\frac{2}{3}=4$。由勾股定理得，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{13}$。
(2)在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∵$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴设AC = 3x，则AB = 5x。由勾股定理得，$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(5x)^{2}-(3x)^{2}} = 4x$。
∵BC = 8，
∴4x = 8，解得x = 2，
∴AC = 6，AB = 10。