《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

4.如图，已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 3$与x轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点(点$A$在点$B$的左侧)，与y轴交于点$C$。
　(1)求抛物线的表达式。
　(2)若$P$为x轴上一动点，$Q$为抛物线上一动点，则是否存在点$P$，$Q$，使得以点$B$，$C$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1) 根据题意，设抛物线表达式为$y = a(x - 3)(x + 1)$，
把$C(0,-3)$代入得$-3 = a\times(-3)\times1$，
解得$a = 1$，
所以抛物线的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$.
(2) 存在.
假设符合要求的点$P,Q$存在.
已知$B(3,0),C(0,-3)$，设$P(m,0)$，$Q(n,n^{2}-2n - 3)$.
以点$B,C,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形可分为以下情况：
①当$PQ$为对角线时，则
$\begin{cases}m + n = 3 + 0,\\n^{2}-2n - 3 + 0 = -3 + 0,\end{cases}$
解得$m = 1$或$m = 3$(舍)，
所以$P(1,0)$；
②当$PB$为对角线时，则
$\begin{cases}m + 3 = 0 + n,\\n^{2}-2n - 3 - 3 = 0 + 0,\end{cases}$
解得$m = -2\pm\sqrt{7}$，
所以$P$的坐标为$(-2+\sqrt{7},0)$或$(-2-\sqrt{7},0)$；
③当$PC$为对角线时，则
$\begin{cases}m + 0 = n + 3,\\0 - 3 = n^{2}-2n - 3 + 0,\end{cases}$
解得$m = 5$或$m = 3$(舍)，
所以$P(5,0)$.
综上所述，$P$的坐标为$(1,0),(-2+\sqrt{7},0),(-2-\sqrt{7},0),(5,0)$.

5.[2024晋城多校期末节选]如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + 2$与x轴交于点$A(-1,0)$，$B(2,0)$，与y轴交于点$C$，$P$是直线$BC$上方抛物线上的一个动点(不与点$B$，$C$重合)。连接$OP$，交$BC$于点$Q$。
　(1)求抛物线的表达式；
　(2)当$OP = 3PQ$时，求点$P$的坐标。
　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1) 将$A(-1,0),B(2,0)$代入抛物线表达式得，
$\begin{cases}0 = a - b + 2,\\0 = 4a + 2b + 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1,\\b = 1.\end{cases}$
故抛物线的表达式为$y = -x^{2}+x + 2$.
(2) 如图，过点$P$作$PM\perp x$轴于点$M$，交$BC$于点$N$.
当$x = 0$时，$y = 2$，即点$C(0,2)$.
设$BC$所在直线的表达式为$y = kx + 2$.
将$B(2,0)$代入，
得$2k + 2 = 0$，解得$k = -1$，
故直线$BC$的表达式为$y = -x + 2$.
设点$M(m,0)$，则点$P(m,-m^{2}+m + 2)$，$N(m,-m + 2)$，
$\therefore PN=-m^{2}+m + 2-(-m + 2)=-m^{2}+2m$.
$\because OP = 3QP$，
$\therefore OQ = 2PQ$.
$\because PM// y$轴，
$\therefore\frac{PN}{CO}=\frac{PQ}{OQ}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{-m^{2}+2m}{2}=\frac{1}{2}$，
整理得$m^{2}-2m + 1 = 0$，
解得$m_{1} = m_{2} = 1$，
故点$P$的坐标为$(1,2)$.