《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

6.如图，在$\triangle ABC$中，$AC:BC = 7:8$，$\sin A=\frac{4}{7}\sqrt{3}$，$CD\perp AB$，垂足为$D$，$BD = 8$，求$AB$的长.

答案： 解：由题意，设AC = 7x，则BC = 8x.
在Rt△ADC中，CD = AC·sin A = 7x·$\frac{4}{7}\sqrt{3}=4\sqrt{3}x$，
由勾股定理得AD = $\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(7x)^{2}-(4\sqrt{3}x)^{2}}=x$.
在Rt△BDC中，sin B = $\frac{CD}{BC}=\frac{4\sqrt{3}x}{8x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得∠B = 60°，
所以BD = BC·cos B = 8x·$\frac{1}{2}=4x$，
又因为BD = 8，
所以4x = 8，解得x = 2，
所以AD = 2，
所以AB = AD + BD = 10.

7.[2023郑州一模改编]如图，坡角$\alpha = 20^{\circ}$的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树$AB$，当太阳光线与水平线成$45^{\circ}$角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影$BC$长为$7$m，则大树$AB$的高约为(参考数据：$\sin 20^{\circ}\approx0.34$，$\cos 20^{\circ}\approx0.94$，$\tan 20^{\circ}\approx0.36$) （ ）

A. 4.1 m
B. 4.2 m
C. 12.0 m
D. 13.1 m

答案： B

8.[2024太原师范学院附属中学模拟改编]如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁$CD$，$A$地和$B$地都有休闲步道与桥梁$CD$相连.为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁$EF$和休闲步道$AE$，$BF$(点$A$，$E$，$F$，$B$在同一水平直线上)，桥梁$EF$与桥梁$CD$平行，且$EF = 1.5CD$.经过测量，桥梁$CD$的一端$C$在$A$地的北偏东$65^{\circ}$方向，另一端$D$在$B$地的北偏西$45^{\circ}$方向，$B$地在$A$地的正东方. $A$，$B$两地相距$870$m，$A$，$C$两地相距$650$m，则桥梁$EF$的长度约为__________m.(结果精确到0.1 m；参考数据：$\sin 65^{\circ}\approx0.91$，$\cos 65^{\circ}\approx0.42$，$\tan 65^{\circ}\approx2.14$)

答案： 8.3

9.[2024长治壶关县三模]某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔$MN$的高度.如图，他们分成两个小组，分别在教学楼$A$，$B$两个位置进行观测.其中一个小组的同学在教学楼$A$处的窗口位置测得发射塔顶端$M$的仰角为$14^{\circ}$，发射塔底端$N$的俯角为$7^{\circ}$，另一个小组的同学在教学楼$B$处的窗口位置测得发射塔顶端$M$的仰角为$27^{\circ}$.已知教学楼$A$，$B$两个位置的高度差为$19.6$m，求发射塔$MN$的高度. (结果精确到0.1 m；参考数据：$\sin 7^{\circ}\approx0.12$，$\cos 7^{\circ}\approx0.99$，$\tan 7^{\circ}\approx0.12$，$\sin 14^{\circ}\approx0.24$，$\cos 14^{\circ}\approx0.97$，$\tan 14^{\circ}\approx0.25$，$\sin 27^{\circ}\approx0.45$，$\cos 27^{\circ}\approx0.89$，$\tan 27^{\circ}\approx0.51$)

答案： 解：过点A作AG⊥MN于点G，过点B作BH⊥MN，交MN的延长线于点H，
则四边形AGHB为矩形.
∴AG = BH，AB = GH = 19.6 m，
设AG = BH = x m，
在Rt△AMG中，∠MAG = 14°，
∴MG = AG·tan 14°≈0.25x(m).
在Rt△BMH中，∠MBH = 27°，
∴MH = BH·tan 27°≈0.51x(m).
∵MH - MG = GH，
∴0.51x - 0.25x = 19.6，
解得x≈75.38，
∴MG = 0.25x≈18.85 m，AG = BH = 75.38 m.
在Rt△AGN中，∠GAN = 7°，
∴GN = AG·tan 7°≈75.38×0.12≈9.05(m)，
∴MN = MG + GN = 18.85 + 9.05 = 27.9(m).
答：发射塔MN的高度约为27.9 m.