《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

1.[2024吕梁交口县模拟]综合与探究：如图，已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 2(a＞0)$与x轴交于点$A(-1,0)$，$B(2,0)$，与y轴交于点$C$。$P$是抛物线上一动点，设点$P$的横坐标为$m$。
　(1)求抛物线的函数表达式；
　(2)连接$AP$，若存在点$P$使得$\angle BAP = 45^{\circ}$，求$m$的值。
　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1) 将$A(-1,0),B(2,0)$代入抛物线表达式$y = ax^{2}+bx - 2(a＞0)$得，
$\begin{cases}a - b - 2 = 0,\\4a + 2b - 2 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -1.\end{cases}$
故抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-x - 2$.
(2) 由
(1)知$P(m,m^{2}-m - 2)$.
当点$P$在$x$轴下方时，如图1，过点$P$作$PD\perp x$轴于点$D$，

图1
则点$D$的坐标为$(m,0)$.
$\because\angle BAP = 45^{\circ}$，
$\therefore\triangle ADP$是等腰直角三角形，$AD = PD$，
即$m + 1 = -(m^{2}-m - 2)$，
解得$m_{1} = -1$(不合题意，舍去)，$m_{2} = 1$.
当点$P$在$x$轴上方时，如图2，过点$P$作$PE\perp x$轴于点$E$，
图2
则点$E$的坐标为$(m,0)$.
$\because\angle BAP = 45^{\circ}$，
$\therefore\triangle AEP$是等腰直角三角形，$AE = PE$，
即$m + 1 = m^{2}-m - 2$，
解得$m_{3} = -1$(不合题意，舍去)，$m_{4} = 3$.
综上，$m = 1$或$m = 3$.

2.[2023大同多校月考节选]如图，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+mx + n$与x轴交于$A$，$B$两点，与y轴交于点$C$，抛物线的对称轴交x轴于点$D$，已知$A(-1,0)$，$C(0,2)$。
　(1)求抛物线的表达式。
　(2)在抛物线的对称轴上是否存在点$P$，使$\triangle PCD$为等腰三角形？如果存在，写出$P$点的坐标；如果不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1) 将$A(-1,0),C(0,2)$代入抛物线表达式得，
$\begin{cases}-\frac{1}{2}-m + n = 0,\\n = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = \frac{3}{2},\\n = 2.\end{cases}$
故抛物线表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$.
(2) 存在.
由
(1)知抛物线的对称轴为直线$x = \frac{3}{2}$，
则$D(\frac{3}{2},0)$，
$\therefore CD=\sqrt{2^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{5}{2}$.
当$DP = DC$时，$P$点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$或$(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$，
当$CP = CD$时，$P$点坐标为$(\frac{3}{2},4)$，
当$PC = PD$时，设$P(\frac{3}{2},t)$，
则$(\frac{3}{2})^{2}+(t - 2)^{2}=t^{2}$，
解得$t = \frac{25}{16}$，则$P$点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{16})$.
综上所述，满足条件的$P$点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{5}{2}),(\frac{3}{2},-\frac{5}{2}),(\frac{3}{2},4),(\frac{3}{2},\frac{25}{16})$.

3.[2024晋中昔阳县一模节选]综合与探究：抛物线$y = ax^{2}+bx - 4(a\neq0)$与x轴交于点$A(-2,0)$和$B(4,0)$，与y轴交于点$C$。
　(1)求该抛物线的表达式。
　(2)若$P(1,-\frac{9}{2})$，连接$CP$，则在y轴上是否存在点$Q$，使得$\triangle CPQ$为直角三角形？若存在，直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1) 将$A(-2,0)$和$B(4,0)$代入抛物线表达式$y = ax^{2}+bx - 4$得，
$\begin{cases}4a - 2b - 4 = 0,\\16a + 4b - 4 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2},\\b = -1.\end{cases}$
故该抛物线的表达式为$y = \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$.
(2) 存在. $Q$点坐标为$(0,-\frac{9}{2})$或$(0,-\frac{13}{2})$.
详解: 设$Q(0,m)$.
由$C(0,-4),P(1,-\frac{9}{2})$，
可得$CP^{2}=(1 - 0)^{2}+(-\frac{9}{2}+4)^{2}=\frac{5}{4}$，
$CQ^{2}=(-4 - m)^{2}$，
$PQ^{2}=1^{2}+(-\frac{9}{2}-m)^{2}$.
易知$\angle PCQ\neq90^{\circ}$；
当$\angle CQP = 90^{\circ}$时，如图1，$PQ\perp y$轴，
图1
可得$Q(0,-\frac{9}{2})$；
当$\angle CPQ = 90^{\circ}$时，如图2，
图2
在$Rt\triangle CPQ$中，$CP^{2}+PQ^{2}=CQ^{2}$，
即$\frac{5}{4}+1^{2}+(-\frac{9}{2}-m)^{2}=(-4 - m)^{2}$，
解得$m = -\frac{13}{2}$，所以$Q(0,-\frac{13}{2})$.
综上所述，存在满足要求的点$Q$，坐标为$(0,-\frac{9}{2})$或$(0,-\frac{13}{2})$.