《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

10. 如图所示，若AB = OA = OB = OC，则∠ACB的度数是 （ ）


A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 35°

答案： B

11. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于1/2BC长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD = AD，∠B = 25°，则下列结论中错误的是 （ ）


A. ∠ACD = 65°
B. ∠ACB = 90°
C. ∠CAD = 50°
D. 点D是△ABC的外心

答案： C

12. 在△ABC中，∠B = 45°，AB = 6. 三位同学分别给出了一个条件，想使BC的长唯一. 这三个条件分别是①AC = 4；②AC = 8；③△ABC的外接圆半径为4. 其中正确的是__________.(填序号)

答案：
②
　详解:如图1,∠ABE = 45°，AB = 6，点C在射线BE上，作AD⊥BE于点D.
　　　　
　则AD = BD = $\frac{\sqrt{2}}{2}AB = 3\sqrt{2}$，
∵$3\sqrt{2}＞4$，
∴不存在AC = 4的△ABC，故①不符合题意；
∵AB = 6，AD = $3\sqrt{2}$，AC = 8＞6，
∴存在AC = 8的唯一△ABC，如图1，
∴AC = 8，使得BC的长唯一成立，故②符合题意；
　当△ABC的外接圆半径为4时，如图2，
　　　　
∵∠B = 45°，
∴∠AOC = 90°，
∴AC = $4\sqrt{2}$
∵$3\sqrt{2}＜4\sqrt{2}＜6$，
∴存在两个点C使△ABC的外接圆半径为4，即BC的长不唯一，故③不符合题意.

13. 如图，在△ABC中，AB = 2，AC = √3，BC = 1，在直线l上找一点P，连接AP，CP，使∠APC = 60°(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，作出符合条件的一种情况即可).

答案：
解:如图，点P为△ABC的外接圆与直线l的交点(图中P₁，P₂均满足题意，画出其中一个即可).
　　　　

14. [推理能力]问题：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即任意三角形的三个顶点确定一个圆. 那么怎样的四点(任意三点均不在同一直线上)确定一个圆呢?
探究: (1) 已学过的特殊四边形有①梯形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形. 其中四个顶点能确定一个圆的是__________.(填序号)
(2) 联系前面所学圆内接四边形的性质，猜想：__________的四边形的四个顶点确定一个圆.
(3) 补全下面的证明过程.
已知：四边形ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.
求证：点D在⊙O上.
证明：假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O外，或点D在⊙O内.
①当点D在⊙O外时，如图1，连接OD，与⊙O相交于E，连接AE，CE.
∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠B + __________ = 180°.
∵∠AEO，∠CEO分别是△ADE，△CDE的外角，
∴∠ADO______∠AEO，∠CDO______∠CEO，
∴∠ADC______∠AEC，
∴∠B + ∠ADC______∠B + ∠AEC = 180°.
这与已知条件__________相矛盾，
∴点D不在⊙O外.
②当点D在⊙O内时，如图2，连接OD并延长，与⊙O相交于F，连接AF，CF.
……
∴∠ADC______∠AFC，
∴∠B + ∠ADC______∠B + ∠AFC = 180°.
这与已知条件__________相矛盾，
∴点D不在⊙O内.
由①②证得，点D在⊙O上.

答案：
(1)③⑤
(2)对角互补
(3)∠AEC；＜；＜；＜；＜；∠B + ∠ADC = 180°；＞；＞；∠B + ∠ADC = 180°