《2025年53精准练九年级数学下册北师大版山西专版》

1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12，则tan A的值为（ ）
A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{12}{5}$
C. $\frac{5}{13}$
D. $\frac{12}{13}$

答案： B

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3AC，则tan B =（ ）

A. $\frac{1}{3}$
B. 3
C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： A

3. 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A(4, 3)，直线OA与x轴非负半轴的夹角为∠α，那么sin α的值是（ ）
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{4}{3}$

答案： A

4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD、AE分别为△ABC的高线和中线，AB = 4，AC = 3，则cos ∠EAD的值为（ ）

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{24}{25}$

答案： D

5. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，点D在边BC上，BD = 2CD，且tan ∠CAD = $\frac{2}{3}$.求cos B的值.

答案： 解:在Rt△ACD中,∠C = 90°,
∵tan∠CAD = $\frac{2}{3}$,AC = 3,
∴CD = AC·tan∠CAD = 3×$\frac{2}{3}$ = 2,
∵BD = 2CD,
∴BC = 3CD = 6.
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
AB = $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+3^{2}}$ = 3$\sqrt{5}$,
∴cos B = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{6}{3\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

6. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sin A = $\frac{4}{5}$，则tan B的值为（ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{4}{3}$

答案： A

7. 如图，在平面直角坐标系中，OC:BC = 1:2，OP//AB交AC的延长线于点P. 若点P在直线y = x上，则sin ∠OAP的值是（ ）

A. $\frac{1}{3}$
B. 3
C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： C

8. 如图，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，连接AC、BD、AE，且AC交BD于O，AE交BD于F，则cos ∠OAF的值为（ ）
A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{4}$
C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

答案： A

9. [2024温州三模]如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，以AB为边，在其右侧作正方形ABDE，点E落在边AC上，DE与BC交于点I，以AC为边，在其下方作正方形ACFG，已知$\frac{S_{四边形AEIB}}{S_{\triangle BDI}}$ = $\frac{19}{5}$，则sin ∠ACB =（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{5}{19}$
C. $\frac{5}{13}$
D. $\frac{5}{12}$

答案： C
详解:
∵四边形ABDE、四边形ACFG 都是正方形，
∴∠BAE = ∠AED = ∠D = 90°,　AB//DE.
设正方形ABDE的边长为a，
∴S_{四边形AEIB} = $\frac{1}{2}$AE·(AB + EI) = $\frac{1}{2}$a(a + EI),S_{△BDI} = $\frac{1}{2}$BD·DI = $\frac{1}{2}$a(a - EI),
∵$\frac{S_{四边形AEIB}}{S_{△BDI}}$ = $\frac{19}{5}$,
∴$\frac{\frac{1}{2}a(a + EI)}{\frac{1}{2}a(a - EI)}$ = $\frac{19}{5}$,
∴EI = $\frac{7}{12}$a.
∵AB//DE,
∴△CEI∽△CAB,
∴$\frac{CE}{CA}$ = $\frac{EI}{AB}$ = $\frac{7}{12}$,
∴CE = $\frac{7}{12}$AC = $\frac{7}{12}$(AE + CE) = $\frac{7}{12}$(a + CE),
∴CE = $\frac{7}{5}$a,
∴AC = AE + CE = $\frac{12}{5}$a,
∴BC = $\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}$ = $\sqrt{(\frac{12}{5}a)^{2}+a^{2}}$ = $\frac{13}{5}$a,
∴sin∠ACB = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{a}{\frac{13}{5}a}$ = $\frac{5}{13}$.