《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

【问题探究 1】在平面中，我们可选定一点 O 和一个单位正交基底{i，j}来建立平面直角坐标系，类似地，如何建立空间直角坐标系？

答案： 提示：在空间中选定一点O和一个单位正交基底$\{i,j,k\}$来建立空间直角坐标系.

例 1 如图，在三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，AB ⊥ 平面 BB₁C₁C，E 为棱 C₁C 的中点，已知 AB = √2，BB₁ = 2，BC = 1，∠BCC₁ = π/3. 试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.

答案：
解析：在平面$BB_{1}C_{1}C$上过B点作垂直$BB_{1}$的直线，与$CC_{1}$相交于点D，
如图所示，$AB\perp$侧面$BB_{1}C_{1}C$，$BD\subset$侧面$BB_{1}C_{1}C$，$BB_{1}\subset$侧面$BB_{1}C_{1}C$，
$\therefore AB\perp BD$，$AB\perp BB_{1}$，
又$\because BB_{1}\perp BD$，所以$BD$，$BB_{1}$，$BA$两两垂直，
以B为原点，分别以$BD$，$BB_{1}$，$BA$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系.
$AB = \sqrt{2}$，$BB_{1}=2$，$BC = 1$，$\angle BCC_{1}=\frac{\pi}{3}$，
则$CD=\frac{1}{2}$，$BD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$A(0,0,\sqrt{2})$，$B(0,0,0)$，$C(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0)$，$A_{1}(0,2,\sqrt{2})$，
$B_{1}(0,2,0)$，$C_{1}(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},0)$，
$E$为棱$CC_{1}$的中点，则有$E(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$.

巩固练习 1 如图，四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC = ∠BAD = 90°，PA = BC = 1/2AD = 1. 请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标.

答案：
解析：因为$PA\perp$平面$ABCD$，$AB$，$AD\subset$平面$ABCD$，
所以$PA\perp AB$，$PA\perp AD$，且$AB\perp AD$，
所以分别以$AB$，$AD$，$AP$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，
如图，
因为$PA\perp$平面$ABCD$，$PB$与底面所成的角为$45^{\circ}$，
所以$\angle PBA = 45^{\circ}$，所以$AB = PA = 1$，
则$P(0,0,1)$，$C(1,1,0)$，$D(0,2,0)$，$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$.

例 2 在空间直角坐标系中，已知点 P( - 2，1，4).
(1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标；
(2)求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标；
(3)求点 P 关于点 M(2， - 1， - 4)对称的点的坐标.

答案： 解析：
(1)由于点$P$关于$x$轴对称后，它在$x$轴的分量不变，在$y$轴，$z$轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为$P_{1}(-2,-1,-4)$.
(2)由于点$P$关于$xOy$平面对称后，它在$x$轴，$y$轴的分量不变，在$z$轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为$P_{2}(-2,1,-4)$.
(3)设对称点为$P_{3}(x,y,z)$，则点$M$为线段$PP_{3}$的中点，
由中点坐标公式，可得$x = 2\times2 - (-2)=6$，
$y = 2\times(-1)-1=-3$，$z = 2\times(-4)-4=-12$，
所以$P_{3}$的坐标为$(6,-3,-12)$.