《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

3.已知$A(0,0,2)$，$B(0,2,1)$，$C(2,1,0)$，$D(2,0,1)$，则点D到平面$ABC$的距离为 ( )
A.$\frac{2\sqrt{145}}{145}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{25}$
C.$\frac{2\sqrt{29}}{29}$
D.$\frac{2}{5}$

答案： 解析:易知$\overrightarrow{AB}=(0,2,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(2,1,-2)$，$\overrightarrow{AD}=(2,0,-1)$，
设平面$ABC$的法向量$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AC}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}2y - z = 0,\\2x + y - 2z = 0,\end{cases}$
令$y = 1$，则$x=\frac{3}{2}$，$z = 2$，
所以平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(\frac{3}{2},1,2)$，
所以点$D$到平面$ABC$的距离$d=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AD}|}{|\boldsymbol{m}|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{29}}{2}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$.
故选C.
答案:C

4.若两平行平面$\alpha$，$\beta$分别经过坐标原点O和点$A(2,1,1)$，且两平面的一个法向量为$n=(-1,0,1)$，则两平面间的距离是________.

答案： 解析:依题意，平行平面$\alpha$，$\beta$间的距离即为点$O$到平面$\beta$的距离，而$\overrightarrow{OA}=(2,1,1)$，所以平行平面$\alpha$，$\beta$间的距离$d=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OA}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|-1\times2 + 0\times1+1\times1|}{\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
答案:$\frac{\sqrt{2}}{2}$

题型一 两异面直线所成的角
【问题探究1】（1）异面直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角〈a，b〉之间有怎样的关系式？
（2）两直线夹角的公式为什么不是cosθ = $\frac{a\cdot b}{|a||b|}$？

答案： 提示:
(1)$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle|$.
(2)由于两直线夹角的范围为$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，两向量夹角的范围为$[0,\pi]$，因此，两直线夹角的公式为$\cos\theta =\left|\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\right|$，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角.

例1 如图，已知圆锥的底面半径r = 2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，点P为母线SA的中点.求异面直线PQ与SO所成角的余弦值.

答案：
解析:以$O$为原点，$OQ$为$x$轴，$OA$为$y$轴，$OS$为$z$轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意可得$SO = 2\sqrt{3}$，则$S(0,0,2\sqrt{3})$，$O(0,0,0)$，$A(0,2,0)$，$Q(2,0,0)$，$B$，$P(0,1,\sqrt{3})$，
则$\overrightarrow{SO}=(0,0,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{PQ}=(2,-1,-\sqrt{3})$，
设异面直线$PQ$与$SO$所成角的大小为$\theta$，
则$\cos\theta =\frac{|\overrightarrow{SO}\cdot\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{SO}||\overrightarrow{PQ}|}=\frac{6}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故异面直线$PQ$与$SO$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$.

巩固练习1 如图所示，在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB = BC = AA₁，∠ABC = 90°，点E，F分别是棱AB，BB₁的中点，试求直线EF和BC₁所成的角.

答案：
解析:分别以$BC$，$BA$，$B_1B$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立空间直角坐标系(如图).

设$AB = 1$，则$B(0,0,0)$，$E\left(0,\frac{1}{2},0\right)$，$F\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$，$C_1(1,0,1)$，
所以$\overrightarrow{EF}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC_1}=(1,0,1)$.
于是$\cos\langle\overrightarrow{BC_1},\overrightarrow{EF}\rangle=\frac{\overrightarrow{BC_1}\cdot\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BC_1}||\overrightarrow{EF}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2}$，
所以直线$EF$和$BC_1$所成角的大小为$60^{\circ}$.