《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 圆的一般方程的辨析
【问题探究1】(1)圆的标准方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r＞0)$展开可得到一个什么式子?
(2)把$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$配方后，将得到怎样的方程? 这个方程是不是就一定表示圆?

答案： 问题探究1　提示:
(1)$x^{2}+y^{2}-2ax - 2by + a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$.
(2)得到的方程为$\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^{2}=\dfrac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$.当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时,方程表示以$\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$为圆心,以$\dfrac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$为半径的圆;当$D^{2}+E^{2}-4F = 0$时,方程只有实数解$x=-\dfrac{D}{2}$,$y=-\dfrac{E}{2}$,它表示一个点$\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$;当$D^{2}+E^{2}-4F＜0$时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

例1 若方程$x^2 + y^2 + 2mx - 2y + m^2 + 5m = 0$表示圆.
(1)求实数$m$的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径.

答案： 例1　解析:
(1)由表示圆的条件，
　得$(2m)^{2}+(-2)^{2}-4(m^{2}+5m)＞0$，
　解得$m＜\dfrac{1}{5}$，即实数$m$的取值范围为$\left(-\infty,\dfrac{1}{5}\right)$.
(2)将方程$x^{2}+y^{2}+2mx - 2y + m^{2}+5m = 0$写成标准方程为$(x + m)^{2}+(y - 1)^{2}=1 - 5m$，
　故圆心坐标为$(-m,1)$，半径$r=\sqrt{1 - 5m}\left(m＜\dfrac{1}{5}\right)$.

巩固练习1 (1)已知方程$x^2 + y^2 - 2x + 2 + k = 0$表示半径为1的圆，则实数$k=$（ ）
A.2
B.1
C.-1
D.-2
(2)若方程$2x^2 + 2y^2 + 2ax - 2ay = 0(a\neq0)$表示圆，则圆心坐标和半径分别为__________.

答案： 巩固练习1　解析:
(1)由题设知$(x - 1)^{2}+y^{2}=-(1 + k)$表示半径为$1$的圆,所以$-(1 + k)=1\Rightarrow k=-2$.故选D.
(2)方程$2x^{2}+2y^{2}+2ax - 2ay = 0(a\neq0)$，
　可化为$\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{a}{2}\right)^{2}=\dfrac{a^{2}}{2}$，
　故圆心坐标为$\left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right)$，半径为$\dfrac{\sqrt{2}|a|}{2}$.
　答案:
(1)D　
(2)$\left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right)$，$\dfrac{\sqrt{2}|a|}{2}$

题型二 求圆的一般方程
例2 已知平面直角坐标系中有$A(-1,5)$，$B(5,5)$，$C(-3,1)$，$D(6,-2)$四点，这四点是否在同一个圆上? 请说明理由.

答案： 例2　解析:方法一　设经过$A(-1,5)$，$B(5,5)$，$C(-3,1)$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$，
　　　$\begin{cases}1 + 25 - D + 5E+F = 0,\\25 + 25 + 5D + 5E+F = 0,\\9 + 1 - 3D+E+F = 0,\end{cases}$
　即$\begin{cases}26 - D + 5E+F = 0,\\50 + 5D + 5E+F = 0,\\10 - 3D+E+F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-4,\\E=-2,\\F=-20,\end{cases}$
　所以过$A$，$B$，$C$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 20 = 0$，
　把点$D$的坐标代入圆的方程，
　得$6^{2}+(-2)^{2}-4\times6 - 2\times(-2)-20=36 + 4 - 24 + 4 - 20 = 0$，
　即点$D$的坐标满足圆的方程，所以点$D$在该圆上，
　所以这四点在同一个圆上.
　方法二　易知$AB$的垂直平分线为$x = 2$，
　$AC$的中点为$(-2,3)$，直线$AC$的斜率为$2$，
　所以线段$AC$的垂直平分线为$y - 3=-\dfrac{1}{2}(x + 2)$，即$x + 2y - 4 = 0$，
　解方程组$\begin{cases}x = 2,\\x + 2y - 4 = 0,\end{cases}$得三角形$ABC$的外接圆圆心为$P(2,1)$，
　半径为$|AP|=\sqrt{(-1 - 2)^{2}+(5 - 1)^{2}}=5$，
　所以三角形$ABC$的外接圆为$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=25$，
　把点$D$的坐标代入方程的左边得$(6 - 2)^{2}+(-2 - 1)^{2}=25$，所以点$D$也在圆上.
　所以$A$，$B$，$C$，$D$四点在同一个圆上.

巩固练习2 已知$\triangle ABC$的三个顶点为$A(1,4)$，$B(-2,3)$，$C(4,-5)$，求$\triangle ABC$的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.

答案： 巩固练习2　解析:方法一　设$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$，
　$\because A$，$B$，$C$在圆上，
　$\therefore\begin{cases}1 + 16+D + 4E+F = 0,\\4 + 9 - 2D+3E+F = 0,\\16 + 25 + 4D - 5E+F = 0,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}D=-2,\\E = 2,\\F=-23.\end{cases}$
　$\therefore\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 23 = 0$，
　即$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$.
　$\therefore$外心坐标为$(1,-1)$，外接圆半径为$5$.
　方法二　$\because k_{AB}=\dfrac{4 - 3}{1+2}=\dfrac{1}{3}$，$k_{AC}=\dfrac{4 + 5}{1 - 4}=-3$，
　$\therefore k_{AB}\cdot k_{AC}=-1$，$\therefore AB\perp AC$.
　$\therefore\triangle ABC$是以角$A$为直角的直角三角形，
　$\therefore$外心是线段$BC$的中点，
　坐标为$(1,-1)$，$r=\dfrac{1}{2}|BC| = 5$.
　$\therefore$外接圆方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$.