《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习2 圆$x^{2}+y^{2}=3$与圆$x^{2}+y^{2}-3x + 3y - 3m = 0$的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为$2$，则$m$的值为（ ）
A.3
B.2
C.2或 - 2
D.3或 - 1

答案： 解析:根据题意，圆$x^2 + y^2 = 3$与圆$x^2 + y^2 - 3x + 3y - 3m = 0$，
即$\begin{cases}x^2 + y^2 - 3 = 0\\x^2 + y^2 - 3x + 3y - 3m = 0\end{cases}$，两式相减可得$x - y + m - 1 = 0$，
即两圆的公共弦所在的直线的方程为$x - y + m - 1 = 0$，
该直线与$x$轴的交点为$(1 - m,0)$，与$y$轴的交点为$(0,m - 1)$，
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为$2$，则有$\frac{1}{2}\times|1 - m|\times|m - 1| = 2$，
变形可得$(m - 1)^2 = 4$，解可得$m = 3$或$-1$，满足$D^2 + E^2 - 4F = 18 + 12m＞0$. 故选D.
答案:D

例3 若圆$C$与圆$C_1:(x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=8$外切，并且与直线$x + y - 1 = 0$相切于点$A(2,-1)$.求圆$C$的标准方程.

答案： 解析:设圆$C$的圆心为$C(a,b)$，半径为$r$，
$\because$圆$C$与$C_1$相外切，
$\therefore\sqrt{(a + 2)^2+(b - 1)^2}=2\sqrt{2}+r$ ①，
$\because$圆$C$与直线$x + y - 1 = 0$相切于点$A(2,-1)$，
$\therefore k_{AC}=\frac{b + 1}{a - 2}=1$，得$b = a - 3$ ②，
因为圆$C$与直线$x + y - 1 = 0$相切，所以$\frac{|a + b - 1|}{\sqrt{2}}=r$，
(1)当$a + b - 1\geqslant0$时，$a + b - 1=\sqrt{2}r$ ③，
由②，③得$2a - 4=\sqrt{2}r$ ④，
将②代入①式，得$\sqrt{(a + 2)^2+(a - 4)^2}=2\sqrt{2}+r$，即$\sqrt{2a^2 - 4a + 20}=2\sqrt{2}+r$， ⑤，
由④，⑤两式得$a = 5$，代入②式得$b = 2$，$r = 3\sqrt{2}$，
故圆的方程为$(x - 5)^2+(y - 2)^2 = 18$.
(2)当$a + b - 1＜0$时，$a + b - 1=-\sqrt{2}r$ ⑥，
由①②⑥式解得$a = 1$，$b = -2$，$r=\sqrt{2}$，
故圆$C:(x - 1)^2+(y + 2)^2 = 2$.
综上，所求圆的方程为$(x - 1)^2+(y + 2)^2 = 2$或$(x - 5)^2+(y - 2)^2 = 18$.

巩固练习3 求经过点M(3,−1)且与圆C:x²+y²+2x−6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程.

答案： 解析:由题意设所求圆的方程为$(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2$，
由题意得$\begin{cases}(3 - a)^2+(1 + b)^2 = r^2&①\\(1 - a)^2+(2 - b)^2 = r^2&②\\\frac{b - 2}{a - 1}=\frac{3 - 2}{-1 - 1}=-\frac{1}{2}&③\end{cases}$
由① - ②得$4a - 6b - 5 = 0$， ④
由③得$a + 2b - 5 = 0$， ⑤
由④⑤得$\begin{cases}a=\frac{20}{7}\\b=\frac{15}{14}\end{cases}$，所以$r^2=\frac{845}{196}$，
故所求圆的方程为$(x-\frac{20}{7})^2+(y-\frac{15}{14})^2=\frac{845}{196}$.

1.已知圆$C_1:x^{2}+y^{2}=4$与圆$C_2:(x + 3)^{2}+(y - 4)^{2}=49$，则两圆的位置关系是（ ）
A.相离
B.外切
C.相交
D.内切

答案： 解析:圆$C_1:x^2 + y^2 = 4$的圆心为$C_1(0,0)$，半径$r_1 = 2$，
圆$C_2:(x + 3)^2+(y - 4)^2 = 49$的圆心为$C_2(-3,4)$，半径$r_2 = 7$，
因为$|C_1C_2|=\sqrt{(-3)^2 + 4^2}=5=|r_2 - r_1|$，
所以两圆相内切. 故选D.
答案:D

2.圆$x^{2}+y^{2}-4x + 6y = 0$和圆$x^{2}+y^{2}-6x = 0$交于$A$，$B$两点，则线段$AB$的垂直平分线的方程是（ ）
A.$x + y + 3 = 0$
B.$2x - y - 5 = 0$
C.$3x - y - 9 = 0$
D.$4x - 3y + 7 = 0$

答案： 解析:将两圆的方程相减，得直线$AB$的方程$y = -\frac{1}{3}x$，
则线段$AB$的垂直平分线的斜率为$k = 3$，
由两圆的方程知，两圆的圆心分别为$(2,-3)$，$(3,0)$，
所以线段$AB$的垂直平分线的方程为$y - 0 = 3(x - 3)$，
即$3x - y - 9 = 0$. 故选C.
答案:C

3.已知圆$C_1:(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=r^{2}(r＞0)$与圆$C_2:(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=16$外切，则$r$的值为（ ）
A.1
B.5
C.9
D.21

答案： 解析:因为圆$C_1:(x - 1)^2+(y + 2)^2 = r^2(r＞0)$与圆$C_2:(x - 4)^2+(y - 2)^2 = 16$外切，所以$\sqrt{(4 - 1)^2+(2 + 2)^2}=r + 4$，解得$r = 1$. 故选A.
答案:A

4.经过点$(0,4)$，且与圆$C:x^{2}+y^{2}+10x + 10y = 0$相切于原点的圆的方程为______________.

答案： 解析:由题意已知圆$C$的标准方程为$(x + 5)^2+(y + 5)^2 = 50$，圆心为$C(-5,-5)$，半径为$r = 5\sqrt{2}$，
所求圆与圆$C$切于原点，则圆心在直线$y = x$上，设圆心为$(a,a)$，
又圆过点$(0,4)$及原点，所以圆心$(a,a)$在直线$y = 2$上，即$a = 2$，$r = 2\sqrt{2}$，
所以圆方程为$(x - 2)^2+(y - 2)^2 = 8$.
答案:$(x - 2)^2+(y - 2)^2 = 8$