《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例3 已知点P(x，y)在圆C：x²+y²-6x-6y+14=0上.
(1)求y/x的最大值和最小值；
(2)求x²+y²+2x+3的最大值与最小值；
(3)求x+y的最大值与最小值.

答案：
解析:
(1)方程$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$可化为$(x - 3)^2+(y - 3)^2 = 4$。
$\frac{y}{x}$表示圆上的点$P$与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然$PO(O$为坐标原点$)$与圆相切时，斜率最大或最小。
设切线方程为$y = kx$（由题意知，斜率一定存在），即$kx - y = 0$，
由圆心$C(3,3)$到切线的距离等于半径$2$，
可得$\frac{\vert3k - 3\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$，解得$k=\frac{9\pm2\sqrt{14}}{5}$，
所以$\frac{y}{x}$的最大值为$\frac{9 + 2\sqrt{14}}{5}$，最小值为$\frac{9 - 2\sqrt{14}}{5}$。
(2)$x^2 + y^2 + 2x + 3=(x + 1)^2 + y^2 + 2$，它表示圆上的点$P$到$E(-1,0)$的距离的平方再加$2$，所以当点$P$与点$E$的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，
如图②所示，显然点$E$在圆$C$的外部，
所以点$P$与点$E$距离的最大值为$\vert P_1E\vert=\vert CE\vert + 2$，点$P$与点$E$距离的最小值为$\vert P_2E\vert=\vert CE\vert - 2$。
又$\vert CE\vert=\sqrt{(3 + 1)^2 + 3^2}=5$，
所以$x^2 + y^2 + 2x + 3$的最大值为$(5 + 2)^2 + 2 = 51$，最小值为$(5 - 2)^2 + 2 = 11$。
(3)设$x + y = b$，则$b$表示动直线$y = - x + b$在$y$轴上的截距，
如图③所示，显然当动直线$y = - x + b$与圆$(x - 3)^2+(y - 3)^2 = 4$相切时，$b$取得最大值或最小值，此时圆心$C(3,3)$到切线$x + y = b$的距离等于圆的半径$2$，
则$\frac{\vert3 + 3 - b\vert}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2$，即$\vert b - 6\vert = 2\sqrt{2}$，解得$b = 6\pm2\sqrt{2}$，
所以$x + y$的最大值为$6 + 2\sqrt{2}$，最小值为$6 - 2\sqrt{2}$。

巩固练习3 (1)已知实数x，y满足方程x²+y²-2x=0，则(y+1)/(x+1)的最大值是 ( )
A.3/4
B.4/3
C.0
D.1/2

答案：
解析:
(1)方程$x^2 + y^2 - 2x = 0$可化为$(x - 1)^2 + y^2 = 1$，
它表示圆心$(1,0)$，半径为$1$的圆，
$\frac{y + 1}{x + 1}$表示圆上的点与点$P(-1,-1)$的连线的斜率$k$，
设过圆上点与点$P(-1,-1)$的直线方程为$y + 1 = k(x + 1)$，
则圆心$(1,0)$到直线$y + 1 = k(x + 1)$的距离$d=\frac{\vert2k - 1\vert}{\sqrt{k^2 + 1}}\leqslant1$，

可得$0\leqslant k\leqslant\frac{4}{3}$，即最大值为$\frac{4}{3}$。故选B。

(2)若点P(x，y)在圆x²+y²-4y+1=0上，则(x-1)²+y²的最小值为______.

答案：
(2)$x^2 + y^2 - 4y + 1 = 0$可化为$x^2+(y - 2)^2 = 3$，
圆心为$(0,2)$，半径为$\sqrt{3}$，
又$(x - 1)^2 + y^2$表示点$(x,y)$与点$(1,0)$的距离的平方，
圆心$(0,2)$与点$(1,0)$的距离为$\sqrt{5}$，
所以点$(x,y)$与点$(1,0)$的距离的最小值为$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，
故$(x - 1)^2 + y^2$的最小值为$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = 8 - 2\sqrt{15}$。
答案:
(2)$8 - 2\sqrt{15}$

1.已知点P(-3，-4)，Q是圆O：x²+y²=4上的动点，则线段PQ长度的最小值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.5

答案： 解析:易知圆心$O(0,0)$，半径为$r = 2$，且点$P(-3,-4)$在圆$O$外，所以$\vert PQ\vert_{min}=\vert OP\vert - r=\sqrt{(-3 - 0)^2+(-4 - 0)^2}-2 = 3$。故选C。
答案:C

2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x-4)²+(y-3)²=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为 ( )
A.√3
B.2√3
C.2
D.4

答案： 解析:根据题意，圆$C:(x - 4)^2+(y - 3)^2 = 4$，其圆心$C(4,3)$，半径$r = 2$，过点$P$作圆$C:(x - 4)^2+(y - 3)^2 = 4$的切线，切点为$Q$，则$\vert PQ\vert=\sqrt{\vert PC\vert^2 - 4}$，当$\vert PC\vert$最小时，$\vert PQ\vert$最小，又由点$P$在单位圆上，则$\vert PC\vert$的最小值为$\vert OC\vert - 1=\sqrt{9 + 16}-1 = 4$，则$\vert PQ\vert$的最小值为$\sqrt{16 - 4}=2\sqrt{3}$。故选B。
答案:B

3.直线l过点(1,1)且被圆C：x²+(y-2)²=5截得的弦长最短，则直线l的方程为______.

答案： 解析:由圆$C$的方程知圆心$C(0,2)$，半径为$\sqrt{5}$，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心$C(0,2)$与$(1,1)$的连线垂直于弦，
由圆心$C(0,2)$与$(1,1)$的连线斜率为$-1$，所以直线$l$的斜率为$1$，
直线$l$的方程为$y - 1 = x - 1$，即$y = x$。
答案:$y = x$

4.已知圆C₁：x²+y²+4x-4y=0，动点P在圆C₂：x²+y²-4x-12=0上，则△PC₁C₂面积的最大值为______.

答案： 解析:因为$C_1(-2,2)$，$r_1 = 2\sqrt{2}$，$C_2(2,0)$，$r_2 = 4$，所以$\vert C_1C_2\vert=\sqrt{(-2 - 2)^2 + 2^2}=2\sqrt{5}$，当$PC_2\perp C_1C_2$时，$\triangle PC_1C_2$的面积最大，其最大值为$\frac{1}{2}\times2\sqrt{5}\times4 = 4\sqrt{5}$。
答案:$4\sqrt{5}$