《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型三 直线、平面到平面的距离
例3 在直四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，底面为直角梯形，$AB// CD$且$\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 1$，$CD=\sqrt{3}$，$BC = 2$，$AA_1 = 2$，E是$CC_1$的中点.求直线$A_1B_1$与平面$ABE$的距离.

答案：
例3　解析:如图所示，建立空间直角坐标系，
则$A(1,0,0)$，$B(1,2\sqrt{3},0)$，$E(0,\sqrt{3},1)$，$A_{1}(1,0,2)$，
$\therefore\overrightarrow{AA_{1}}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{AB}=(0,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AE}=(-1,\sqrt{3},1)$，
设$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$是平面$ABE$的法向量，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0,\end{cases}$
即$\begin{cases}2\sqrt{3}y = 0,\\-x+\sqrt{3}y + z = 0,\end{cases}$
取$x = 1$，则$y = 0$，$z = 1$，
$\therefore\boldsymbol{n}=(1,0,1)$是平面$ABE$的一个法向量，则点$A_{1}$到平面$ABE$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
又$A_{1}B_{1}// AB$，$A_{1}B_{1}\not\subset$平面$ABE$，$AB\subset$平面$ABE$，
$\therefore A_{1}B_{1}//$平面$ABE$，
$\therefore A_{1}B_{1}$到平面$ABE$的距离为$\sqrt{2}$.

巩固练习3 如图，正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱长为4，M，N，E，F分别为$A_1D_1$，$A_1B_1$，$C_1D_1$，$B_1C_1$的中点，求平面$AMN$与平面$EFBD$的距离.

答案：
巩固练习3　解析:如图所示，建立空间直角坐标系$Dxyz$，
则$A(4,0,0)$，$M(2,0,4)$，$B(4,4,0)$，$E(0,2,4)$，$F(2,4,4)$，$N(4,2,4)$，
$\therefore\overrightarrow{EF}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{MN}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{AM}=(-2,0,4)$，$\overrightarrow{BF}=(-2,0,4)$，
$\therefore\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BF}$，
$\therefore EF// MN$，$AM// BF$，
又$EF\cap BF = F$，$MN\cap AM = M$，
$\therefore$平面$AMN//$平面$EFBD$，
设平面$AMN$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{MN}=2x + 2y = 0,\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AM}=-2x + 4z = 0,\end{cases}$则可取$\boldsymbol{n}=(2,-2,1)$，
$\because\overrightarrow{AB}=(0,4,0)$，
$\therefore$平面$AMN$与平面$EFBD$的距离为$d=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{8}{\sqrt{4 + 4+1}}=\frac{8}{3}$.

随堂练习
1.已知过坐标原点的直线l的方向向量$u=(1,1,1)$，则点$P(1,2,3)$到直线l的距离是 ( )
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 解析:由题意可知，$\overrightarrow{OP}$在直线$l$上的投影向量的模长为$\left|\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|}\right|=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
所以点$P(1,2,3)$到直线$l$的距离是
$d=\sqrt{|\overrightarrow{OP}|^{2}-\left|\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|}\right|^{2}}=\sqrt{2}$.
故点$P(1,2,3)$到直线$l$的距离是$\sqrt{2}$.故选D.
答案:D

2.已知$A(1,2,1)$是平面$\alpha$内一点，$n=(-1,-1,1)$是平面$\alpha$的法向量，若点$P(2,0,3)$是平面$\alpha$外一点，则点P到平面$\alpha$的距离为 ( )
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： 解析:由题意得$\overrightarrow{AP}=(1,-2,2)$，故点$P$到平面$\alpha$的距离$d=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.故选C.
答案:C