《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型三 椭圆中的弦长问题
【问题探究 2】当直线$y = kx + b(k\neq0)$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的两个交点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$时，如何求弦长$|AB|$？

答案： 提示:$\vert AB\vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}+(y_1 - y_2)^{2}}$，
所以$\vert AB\vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}+(kx_1 - kx_2)^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$，
或$\vert AB\vert=\sqrt{(\frac{1}{k}y_1-\frac{1}{k}y_2)^{2}+(y_1 - y_2)^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}\sqrt{(y_1 - y_2)^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}\sqrt{(y_1 + y_2)^{2}-4y_1y_2}$.
其中，$x_1 + x_2$，$x_1x_2$或$y_1 + y_2$，$y_1y_2$的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去$y$(或$x$)后得到关于$x$(或$y$)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.

例 3 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的长轴长为 6，离心率$e = \frac{2}{3}$.
（1）求椭圆$C$的标准方程；
（2）若直线$y = x + m$与椭圆$C$相交于$A$，$B$两点，且$|AB|=\frac{15\sqrt{2}}{7}$，求实数$m$的值.

答案： 解析:
(1)因为椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$的长轴长为6，
所以有$2a = 6\Rightarrow a = 3$，
又因为椭圆的离心率$e=\frac{2}{3}$，
所以有$e=\frac{2}{3}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{2}{3}=\frac{c}{3}\Rightarrow c = 2\Rightarrow b^{2}=a^{2}-c^{2}=9 - 4 = 5$，
所以该椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$.
(2)将直线方程与椭圆方程联立，得$\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\\y = x + m\end{cases}\Rightarrow14x^{2}+18mx + 9m^{2}-45 = 0$，
因为直线$y = x + m$与椭圆$C$相交于$A$，$B$两点，
所以有$\Delta=(18m)^{2}-4\times14\times(9m^{2}-45)\gt0\Rightarrow-\sqrt{14}\lt m\lt\sqrt{14}$，
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，
则有$x_1 + x_2=-\frac{18m}{14}=-\frac{9m}{7}$，$x_1x_2=\frac{9m^{2}-45}{14}$，
$\vert AB\vert=\sqrt{1 + 1}\cdot\vert x_1 - x_2\vert=\sqrt{2}\times\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}}=\sqrt{2}\times\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}=\frac{15\sqrt{2}}{7}$，
即$(-\frac{9m}{7})^{2}-4\times\frac{9m^{2}-45}{14}=\frac{225}{49}\Rightarrow m=\pm3\in(-\sqrt{14},\sqrt{14})$，
所以实数$m$的值为$\pm3$.

巩固练习 3 已知椭圆的长轴长为$2a$，焦点是$F_1(-\sqrt{3},0)$，$F_2(\sqrt{3},0)$，点$F_1$到直线$x = -\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点$F_2$且倾斜角为 45°的直线$l$与椭圆交于$A$，$B$两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段$AB$的长.

答案：
解析:
(1)由已知可得$c=\sqrt{3}$且$-\sqrt{3}-(-\frac{a^{2}}{\sqrt{3}})=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a^{2}=4$，
则$b^{2}=a^{2}-c^{2}=4 - 3 = 1$，
所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$.
(2)由已知可得直线$l$斜率$k = 1$，方程为$y = x-\sqrt{3}$，
联立$\begin{cases}y = x-\sqrt{3}\\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{cases}$得$5x^{2}-8\sqrt{3}x + 8 = 0$，
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，$x_1x_2=\frac{8}{5}$，
则$\vert AB\vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}+(y_1 - y_2)^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}=\frac{8}{5}$，
所以线段$AB$的长为$\frac{8}{5}$.

1. 过椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于$A$，$B$两点，则$|AB|=$（ ）
A. 4
B. $2\sqrt{3}$
C. 1
D. $4\sqrt{3}$

答案： 解析:因为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，可得$a^{2}=4$，$b^{2}=1$，所以$c^{2}=a^{2}-b^{2}=3$，所以椭圆的右焦点的坐标为$F(\sqrt{3},0)$，
将$x=\sqrt{3}$代入椭圆的方程，求得$y=\pm\frac{1}{2}$，所以$\vert AB\vert = 1$.
故选C.
答案:C

2. 椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$与直线$y = k(x - 1)$的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 无法确定

答案： 解析:直线过定点$M(1,0)$且$M(1,0)$在椭圆内，故直线与椭圆相交.
故选B.
答案:B

3. 直线$l:\sqrt{3}x + y-\sqrt{3}=0$与椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$的一个交点坐标为（ ）
A. $(2,\sqrt{3})$
B. $(\frac{2}{13},\frac{11\sqrt{3}}{13})$
C. $(-2,3\sqrt{3})$
D. $(-\frac{2}{13},\frac{15\sqrt{3}}{13})$

答案： 解析:由$\begin{cases}\sqrt{3}x + y-\sqrt{3}=0\\\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{cases}$可得$13x^{2}-24x - 4 = 0$，解得$x = 2$或$x=-\frac{2}{13}$，
当$x = 2$时，$y=-\sqrt{3}$，当$x=-\frac{2}{13}$时，$y=\frac{15\sqrt{3}}{13}$，
所以直线与椭圆的交点坐标为$(2,-\sqrt{3})$，$(-\frac{2}{13},\frac{15\sqrt{3}}{13})$.
故选D.
答案:D

4. 经过椭圆$\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点作倾斜角为 45°的直线$l$，$l$交椭圆于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，则$x_1x_2 + y_1y_2=$________.

答案： 解析:由椭圆方程得右焦点$F(2,0)$，则直线$l$方程为$y = x - 2$，
由$\begin{cases}y = x - 2\\\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}$得$10x^{2}-28x + 7 = 0$，则$\Delta=(-28)^{2}-4\times10\times7 = 504$，
$\therefore x_1 + x_2=\frac{14}{5}$，$x_1x_2=\frac{7}{10}$，
$x_1x_2 + y_1y_2=x_1x_2+(x_1 - 2)(x_2 - 2)=2x_1x_2-2(x_1 + x_2)+4=\frac{7}{5}-\frac{28}{5}+4=-\frac{1}{5}$.
答案:$-\frac{1}{5}$