《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

巩固练习 2 (1)已知空间点 P( - 3，1， - 4)，则点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为 （ ）
A. ( - 3， - 1， - 4) B. ( - 3， - 1，4)
C. ( - 3，1，4) D. (3，1，4)
(2)已知点 P(2，3， - 1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P₁，点 P₁ 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P₂，点 P₂ 关于 z 轴的对称点为 P₃，则点 P₃ 的坐标为 __________.

答案： 解析：
(1)依题意，点$P(-3,1,-4)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(3,1,4)$. 故选D.
(2)点$P(2,3,-1)$关于坐标平面$xOy$的对称点$P_{1}$的坐标为$(2,3,1)$，点$P_{1}$关于坐标平面$yOz$的对称点$P_{2}$的坐标为$(-2,3,1)$，点$P_{2}$关于$z$轴的对称点$P_{3}$的坐标是$(2,-3,1)$.
答案：
(1)D
(2)$(2,-3,1)$

题型三 空间向量的坐标
【问题探究 2】空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？

答案： 提示：点$A$在空间直角坐标系中的坐标为$(x,y,z)$，那么向量$\overrightarrow{OA}$的坐标也为$(x,y,z)$.

例 3 已知直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，∠BAC = 90°，AB = AC = AA₁ = 4，M 为 BC₁ 的中点，N 为 A₁B₁ 的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC_{1}}$，$\overrightarrow{BC_{1}}$的坐标.

答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=i$，$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=j$，$\frac{1}{4}\overrightarrow{AA_{1}}=k$，
$\overrightarrow{AB}=4i + 0j + 0k=(4,0,0)$，
$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AC}=0i + 4j + 4k=(0,4,4)$，
$\therefore\overrightarrow{BC_{1}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_{1}}=-4i + 4j + 4k=(-4,4,4)$.

巩固练习 3 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD - A'B'C'D'，AB = 1，BC = 2，AA' = 3. 求：
(1)向量$\overrightarrow{AC'}$，$\overrightarrow{BD'}$，$\overrightarrow{AD'}$的坐标；
(2)$\overrightarrow{AC'}+2\overrightarrow{BD'}$，$\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{BD'}-2\overrightarrow{AD'}$的坐标.

答案： 解析：
(1)由已知$A(0,0,0)$，$C'(1,2,3)$，$B(1,0,0)$，$D'(0,2,3)$，
则$\overrightarrow{AC'}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{BD'}=(-1,2,3)$，$\overrightarrow{AD'}=(0,2,3)$.
(2)$\overrightarrow{AC'}+2\overrightarrow{BD'}=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9)$，
$\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{BD'}-2\overrightarrow{AD'}=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0)$.

1. 已知{i，j，k}是单位正交基底，$\overrightarrow{AB}=-i + j - k$，则$\overrightarrow{AB}$的坐标为 （ ）
A. ( - 1，1， - 1)
B. ( - i，j， - k)
C. (1， - 1， - 1)
D. (1， - 1，1)

答案： 解析：由单位正交基底的概念可知$\overrightarrow{AB}$的坐标为$(-1,1,-1)$. 故选A.
答案：A

2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A(3，4，5)与点 B( - 3，4， - 5) （ ）
A. 关于平面 xOz 对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于平面 yOz 对称
D. 关于 x 轴对称

答案： 解析：由点$A$和点$B$的纵坐标相同，其他坐标互为相反数，故它们关于$y$轴对称. 故选B.
答案：B

3. 如图长方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，AB = AD = 4，AA₁ = 2，M，N 分别是 A₁C₁，CD₁ 的中点，如图所示建系，则 M，N 中点的坐标为 （ ）

A. (2，3，3)
B. (2，3，3/2)
C. (0， - 1，1/2)
D. (0， - 1， - 1)

答案： 解析：依题意得，$A_{1}(0,0,2)$，$C_{1}(4,4,2)$，$C(4,4,0)$，$D_{1}(0,4,2)$，
因此线段$A_{1}C_{1}$的中点$M(2,2,2)$，线段$CD_{1}$的中点$N(2,4,1)$，所以$M$，$N$中点的坐标为$(2,3,\frac{3}{2})$. 故选B.
答案：B

4. 已知点 A 在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，其中 a = 4i + j，b = j + 3k，c = 2k + i，则点 A 在基底{i，j，k}下的坐标为 ________.

答案： 解析：令坐标原点为$O$，依题意，$\overrightarrow{OA}=a + 2b + 3c$，而$a = 4i + j$，$b = j + 3k$，$c = 2k + i$，因此$\overrightarrow{OA}=(4i + j)+2(j + 3k)+3(2k + i)=7i + 3j + 12k$，所以点$A$在基底$\{i,j,k\}$下的坐标为$(7,3,12)$.
答案：$(7,3,12)$