《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例3 双曲线$16x^{2}-9y^{2}=144$的左、右两焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，点$P$在双曲线上，且$\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 64$，求$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积.
变式练 将本例中的“$\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 64$”改为“$\angle F_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2}$”，其他条件不变，求$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积.

答案：
解析:双曲线方程$16x^{2} - 9y^{2} = 144$化为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16} = 1$，即$a^{2} = 9$，$b^{2} = 16$，所以$c^{2} = 25$，
解得$a = 3$，$c = 5$，于是$F_{1}(-5,0)$，$F_{2}(5,0)$，设$\vert PF_{1}\vert = m$，$\vert PF_{2}\vert = n$，
由双曲线的定义知$\vert m - n\vert = 2a = 6$，又$mn = 64$，
在$\triangle PF_{1}F_{2}$中，由余弦定理得
$\cos\angle F_{1}PF_{2}=\frac{\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}-\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}}{2\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert}=\frac{m^{2}+n^{2}-(2c)^{2}}{2mn}=\frac{(m - n)^{2}+2mn - 4c^{2}}{2mn}=\frac{36+2\times64 - 4\times25}{2\times64}=\frac{1}{2}$，
而$0^{\circ}＜\angle F_{1}PF_{2}＜180^{\circ}$，则$\angle F_{1}PF_{2} = 60^{\circ}$，
所以$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert\sin\angle F_{1}PF_{2}=\frac{1}{2}mn\sin60^{\circ}=16\sqrt{3}$

变式练　解析:不妨设$P$为双曲线右支上一点，由题意得$\vert PF_{1}\vert - \vert PF_{2}\vert = 2a = 6$，
又$\vert F_{1}F_{2}\vert = 2c = 2\times\sqrt{16 + 9}=10$，
因为$\angle F_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2}$，由勾股定理得$\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2} = 100$，
故$\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}=(\vert PF_{1}\vert - \vert PF_{2}\vert)^{2}+2\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert$，即$36+2\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 100$，
解得$\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 32$，故$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert = 16$.

巩固练习3 (1)双曲线$\frac{y^{2}}{a}-\frac{x^{2}}{16}=1(a＞0)$上的两个焦点分别为$F_{1}$与$F_{2}$，焦距为10；$M$是该曲线上一点，且$\vert MF_{1}\vert = 9$，则$\vert MF_{2}\vert =$ （ ）
A.3
B.15
C.3或15
D.15或18

答案： 解析:
(1)因为双曲线的焦距为10，
所以$2c = 10\Rightarrow c = 5$，
又因为$b^{2} = 16$，所以$a^{2} = c^{2} - b^{2} = 25 - 16 = 9$，
因此双曲线的半实轴长为3，
所以双曲线上的点到焦点距离的最小值为$5 - 3 = 2$，
由双曲线的定义可知：
$\vert\vert MF_{1}\vert - \vert MF_{2}\vert\vert = 2\times3 = 6\Rightarrow\vert9 - \vert MF_{2}\vert\vert = 2\times3 = 6\Rightarrow\vert MF_{2}\vert = 3 ＞ 2$，或$\vert MF_{2}\vert = 15 ＞ 2$. 故选C.

巩固练习3 (2)已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，实轴长为$2\sqrt{3}$，$P$为双曲线右支上一点，且满足$\vert PF_{1}\vert^{2}-\vert PF_{2}\vert^{2}=4\sqrt{15}$，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为_______.

答案：
(2)因为双曲线的实轴长$2a = 2\sqrt{3}$，解得$a = \sqrt{3}$，
所以双曲线方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2} = 1$，则$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2$，
根据双曲线的定义可知，$\vert PF_{1}\vert - \vert PF_{2}\vert = 2a = 2\sqrt{3}$，
所以$\vert PF_{1}\vert^{2}-\vert PF_{2}\vert^{2}=(\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert)(\vert PF_{1}\vert - \vert PF_{2}\vert)=2\sqrt{3}(\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert)=4\sqrt{15}$，
解得$\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert = 2\sqrt{5}$，
所以$\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为$\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert + \vert F_{1}F_{2}\vert = 2\sqrt{5}+4$.
答案:
(2)$2\sqrt{5}+4$

1.已知$M(-2,0)$，$N(2,0)$，$\vert PM\vert - \vert PN\vert = 4$，则动点$P$的轨迹是 （ ）
A.双曲线
B.双曲线左支
C.一条射线
D.双曲线右支

答案： 解析:因为$M(-2,0)$，$N(2,0)$，于是有$\vert PM\vert - \vert PN\vert = 4 = \vert MN\vert$，所以动点$P$的轨迹是一条射线.故选C.
答案:C

2.方程$\frac{x^{2}}{2 - k}+\frac{y^{2}}{k - 1}=1$表示实轴在$x$轴上的双曲线，则实数$k$的取值范围为 （ ）
A.$(-\infty,1)$
B.$(2,+\infty)$
C.$(1,2)$
D.$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$

答案： 解析:由方程$\frac{x^{2}}{2 - k}+\frac{y^{2}}{k - 1} = 1$表示实轴在$x$轴上的双曲线，则$\begin{cases}2 - k ＞ 0\\k - 1 ＜ 0\end{cases}$，解得$k ＜ 1$.故选A.
答案:A

3.已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左，右焦点分别是$F_{1}(-13,0)$，$F_{2}(13,0)$，点$P$在双曲线$C$上，且$\vert PF_{1}\vert - \vert PF_{2}\vert = 10$，则双曲线$C$的方程是 （ ）
A.$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{12}=1$
B.$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{5}=1$
C.$\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{25}=1$
D.$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{144}=1$

答案： 解析:由题意可知$2a = 10$，$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 13$，解得$a = 5$，$b = 12$，所以双曲线$C$的方程是$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{144} = 1$.故选D.
答案:D

4.已知$F_{1}$，$F_{2}$分别是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点，点$P$在该双曲线上，若$\vert PF_{1}\vert = 5$，则$\vert PF_{2}\vert =$_______.

答案： 解析:由双曲线定义知：$\vert\vert PF_{1}\vert - \vert PF_{2}\vert\vert = 2a = 2$，$\vert PF_{1}\vert = 5$，即$5 - \vert PF_{2}\vert = \pm 2$，$\vert PF_{2}\vert = 3$或7.
又点$P$在该双曲线上时要满足$\vert PF_{2}\vert\geqslant a + c = 3$或者$\vert PF_{2}\vert\geqslant c - a = 1$，
所以$\vert PF_{2}\vert = 3$或7.
答案:3或7