《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 空间向量的数量积运算
例 1 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，计算：
(1)$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BA}$；(2)$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}$；
(3)$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}$；(4)$\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{CE}$.

答案： 解析：
(1)$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}|\cdot|\overrightarrow{BA}|\cdot\cos\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA}\rangle=\frac{1}{2}\times1\times1\cdot\cos60^{\circ}=\frac{1}{4}$，
所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BA}=\frac{1}{4}$。
(2)$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}|\cdot|\overrightarrow{BD}|\cdot\cos\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BD}\rangle=\frac{1}{2}\times1\times1\cdot\cos0^{\circ}=\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}$。
(3)$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}|\cdot|\overrightarrow{DC}|\cdot\cos\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DC}\rangle=\frac{1}{2}\times1\times1\cdot\cos120^{\circ}=-\frac{1}{4}$，
所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DC}=-\frac{1}{4}$。
(4)$\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA})\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$
$=\frac{1}{4}[\overrightarrow{BD}\cdot(-\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{BA}\cdot(-\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}]$
$=\frac{1}{4}[-\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}]$
$=\frac{1}{4}\times(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}$。

巩固练习 1 （1）（多选）如图，正方体 ABCD -$A'B'C'D'$的棱长为 1，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA'}=\boldsymbol{c}$，则下列各式的值为 1 的有（ ）
A. $\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
B. $\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
C. $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
D. $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$

答案： 解析：
(1)正方体中$AB\perp AD$，$\therefore\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}$，即$a\perp b$，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AA'}$，即$a\perp c$，$\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AA'}$，即$b\perp c$，$\therefore a\cdot b = 0$，$a\cdot c = 0$，$b\cdot c = 0$。
对于选项A，$a\cdot(b + c)=a\cdot b + a\cdot c = 0$，故错误；
对于选项B，$a\cdot(a + b + c)=|a|^{2}+a\cdot b + a\cdot c = 1$，故正确；
对于选项C，$(a + b)\cdot(b + c)=a\cdot b + a\cdot c+|b|^{2}+b\cdot c = 1$，故正确；
对于选项D，$(a + b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c = 0$，故错误。故选BC。

（2）如图，已知四棱锥 P - ABCD 的各棱长均为 2，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=$_______.

答案：
(2)因为四棱锥$P - ABCD$的各棱长均为2，则四棱锥$P - ABCD$为正四棱锥，所以底面四边形$ABCD$为正方形，$\triangle PBC$为边长为2的正三角形，所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，$|\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{BC}| = 2$且$\angle PBC = 60^{\circ}$，故$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BP}|\cdot|\overrightarrow{BC}|\cos\angle PBC=2\times2\times\frac{1}{2}=2$，因为$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$，所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP})\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BC}=0 + 2 = 2$。
答案：
(1)BC
(2)2

例 2 已知空间四边形 OABC 中，$\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC$，且$OA = OB = OC$，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：$OG\perp BC$.

答案：
证明：连接$ON$，设$\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC=\theta$，
又设$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，$\overrightarrow{OC}=c$，
则$|a| = |b| = |c|$。
又$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})$
$=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})]$
$=\frac{1}{4}(a + b + c)$，$\overrightarrow{BC}=c - b$。
$\therefore\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}(a + b + c)\cdot(c - b)$
$=\frac{1}{4}(a\cdot c - a\cdot b + b\cdot c - b^{2}+c^{2}-b\cdot c)$
$=\frac{1}{4}(|a|^{2}\cdot\cos\theta - |a|^{2}\cdot\cos\theta - |a|^{2}+|a|^{2}) = 0$。
$\therefore\overrightarrow{OG}\perp\overrightarrow{BC}$，即$OG\perp BC$。

巩固练习 2 已知：如图，OB 是平面$\alpha$的斜线，O 为斜足，$AB\perp\alpha$，A 为垂足，$CD\subset\alpha$，且$CD\perp OA$. 求证：$CD\perp OB$.

答案： 证明：因为$CD\perp OA$，所以$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{OA}=0$，
因为$AB\perp\alpha$，$CD\subset\alpha$，
所以$AB\perp CD$，$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}=0$。
又$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$，
所以$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CD}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}=0$，
故$CD\perp OB$。