《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例 1 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为 8 m，4 m）和圆弧构成，截面总高度为 6 m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米，已知行车道总宽度|AB| = 6 m.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？

答案：
解析：
(1)以圆弧的中点O为坐标原点，$\overrightarrow{AB}$的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+Ey = 0$，

易知点$(4,-2)$在圆上，将$(4,-2)$的坐标代入圆的一般方程得$16 + 4-2E = 0$，$E = 10$，
则该圆弧所在圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+10y = 0$。
(2)把$x = 3$代入圆的方程得$y^{2}+10y + 9 = 0$，得$y=-1$或$y = - 9$(舍)，
由于隧道的总高度为6米，且$6-1 - 0.5 = 4.5$(米)，
因此车辆通过隧道的限制高度为4.5米。

巩固练习 1 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB| = 100 米，拱高|OP| = 10 米，在建造圆拱桥时每隔 5 米需用一根支柱支撑，则与 OP 相距 30 米的支柱 MN 的高度是______米.（注意：$\sqrt{10}\approx3.162$）（ ）

A.6.48
B.5.48
C.4.48
D.3.48

答案：
解析：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系。

设圆心坐标为$(0,a)$，则$P(0,10)$，$A(-50,0)$。
可设圆拱所在圆的方程为$x^{2}+(y - a)^{2}=r^{2}$，
由题意可得$\begin{cases}(10 - a)^{2}=r^{2}\\(-50)^{2}+a^{2}=r^{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=-120\\r^{2}=16900\end{cases}$，
所以所求圆的方程为$x^{2}+(y + 120)^{2}=16900$。
将$x=-30$代入圆方程，得$900+(y + 120)^{2}=16900$，
因为$y＞0$，所以$y = 40\sqrt{10}-120\approx40\times3.162-120 = 6.48$。
故选A。
答案：A

例 2 如图，某海面有 O，A，B 三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A 岛在 O 岛正东方向距 O 岛 20 千米处，B 岛在 O 岛北偏东 45°方向距 O 岛 40$\sqrt{2}$千米处.以 O 为坐标原点，O 的正东方向为 x 轴的正方向，10 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系.圆 C 经过 O，A，B 三点.

(1)求圆 C 的方程；
(2)若圆 C 区域内有未知暗礁，现有一渔船 D 在 O 岛的南偏东 30°方向距 O 岛 40 千米处，正沿着北偏东 30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由.

答案： 解析：
(1)由已知$O(0,0)$，$A(2,0)$，$B(4,4)$。
方法一 设圆C的一般方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$，
将$O$，$A$，$B$三点代入得
$\begin{cases}F = 0\\4 + 2D+F = 0\\32 + 4D+4E+F = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D=-2\\E=-6\\F = 0\end{cases}$，
$\therefore$圆C的方程为$x^{2}+y^{2}-2x - 6y = 0$。
方法二 设圆C方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}(r＞0)$，将$O$，$A$，$B$三点代入得
$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=r^{2}\\(2 - a)^{2}+(0 - b)^{2}=r^{2}\\(4 - a)^{2}+(4 - b)^{2}=r^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 3\\r^{2}=10\end{cases}$，
$\therefore$圆C的方程为$(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=10$。
(2)该渔船没有触礁危险。理由如下：
由已知该船初始位置为点$D(2,-2\sqrt{3})$，且该船航线所在直线l的斜率为$\sqrt{3}$。
$\therefore$渔船行驶路线$l:y + 2\sqrt{3}=\sqrt{3}(x - 2)$，即$\sqrt{3}x-y-4\sqrt{3}=0$，
圆心$C(1,3)$到l的距离$d=\frac{\vert\sqrt{3}-3 - 4\sqrt{3}\vert}{2}=\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}$，
$\because d=\frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}＞r=\sqrt{10}$，
$\therefore$没有触礁危险。