《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

题型一 圆的标准方程
【问题探究1】（1）圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
（2）已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？

答案：
问题探究1　提示:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素:圆心和半径.
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
(2)设圆心$A(a,b)$，圆上任一点$M(x,y)$，则
$\vert MA\vert =r$，由两点间的距离公式，得$\sqrt{(x - a)^2+(y - b)^2}=r$，化简可得$(x - a)^2+(y - b)^2=r^2$.

例1 求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为(3，4)，半径等于$\sqrt{2}$；
（2）圆心为(1，－3)，经过点(－3，－1)；
（3）圆心在直线x = 2上，且与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2).

答案： 例1　解析:
(1)圆的标准方程为$(x - 3)^2+(y - 4)^2=2$.
(2)由两点间的距离公式可得圆的半径$r = \sqrt{[1-(-3)]^2+[-3-(-1)]^2}=2\sqrt{5}$，
故圆的标准方程为$(x - 1)^2+(y + 3)^2=20$.
(3)因为圆与$y$轴交于点$A(0,-4)$，$B(0,-2)$，
所以圆心在直线$y = - 3$上.
又圆心在直线$x = 2$上，
所以圆心的坐标为$(2,-3)$，
所以圆的半径$r=\sqrt{(2 - 0)^2+(-3 + 2)^2}=\sqrt{5}$，
故圆的标准方程为$(x - 2)^2+(y + 3)^2=5$.

巩固练习1 （1）设A(1，－1)，B(5，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）
A.(x－3)² + y² = 20
B.(x－3)² + y² = 5
C.(x + 3)² + y² = 20
D.(x + 3)² + y² = 5
（2）以点A(2，1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为______________.

答案： 巩固练习1　解析:
(1)由题设，所求圆的圆心为$(3,0)$，半径为$\frac{\vert AB\vert}{2}=\sqrt{5}$，所以以线段$AB$为直径的圆的方程是$(x - 3)^2+y^2=5$. 故选B.
(2)以点$A(2,1)$为圆心，且与$x$轴相切的圆的半径为$1$，故圆的标准方程是$(x - 2)^2+(y - 1)^2=1$.
答案:
(1)B　
(2)$(x - 2)^2+(y - 1)^2=1$

题型二 点与圆的位置关系
【问题探究2】点$M_0(x_0，y_0)$在圆$x² + y² = r²$内的条件是什么？在圆$x² + y² = r²$外的条件又是什么？

答案： 问题探究2　提示:点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.

例2 （1）点$P(m²，5)$与圆$x² + y² = 24$的位置关系是（ ）
A.点P在圆内
B.点P在圆外
C.点P在圆上
D.不确定
（2）已知点$P(2，1)$和圆$C:(x+\frac{a}{2})²+(y - 1)² = 1$，若点P在圆C上，则实数a = ____________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为____________.

答案： 例2　解析:
(1)因为$(m^2)^2+5^2=m^4+25＞24$，所以点$P$在圆外. 故选B.
(2)由题意，得$(x+\frac{a}{2})^2+(y - 1)^2=1$，当点$P$在圆$C$上时，$(2+\frac{a}{2})^2+(1 - 1)^2=1$，解得$a = - 2$或$-6$. 当点$P$在圆$C$外时，$(2+\frac{a}{2})^2+(1 - 1)^2＞1$，解得$a＜-6$或$a＞-2$.
答案:
(1)B　
(2)$-2$或$-6$ $a＜-6$或$a＞-2$