《2025年师说高中数学选择性必修第一册》

例2 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是正方形，侧棱$PD\perp$底面$ABCD$，$PD = DC$，$E$为$PC$的中点，$EF\perp BP$于点$F$。 求证：$PB\perp$平面$EFD$。

答案：
证明:由题意得，$DA,DC,DP$两两垂直，所以以$D$为坐标原点，$DA,DC,DP$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系$Dxyz$，如图，
设$DC = PD = 1$，
则$P(0,0,1)$，$A(1,0,0)$，
$D(0,0,0)$，$B(1,1,0)$，

$E(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
所以$\overrightarrow{PB}=(1,1, - 1)$，
$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，
$\overrightarrow{EB}=(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，
设$F(x,y,z)$，则$\overrightarrow{PF}=(x,y,z - 1)$，
$\overrightarrow{EF}=(x,y-\frac{1}{2},z-\frac{1}{2})$.
因为$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{PB}$，所以$x+(y - \frac{1}{2})-(z - \frac{1}{2}) = 0$，
即$x + y - z = 0$. ①
又因为$\overrightarrow{PF}//\overrightarrow{PB}$，可设$\overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PB}(0\leqslant\lambda\leqslant1)$，
所以$x = \lambda$，$y = \lambda$，$z - 1 = -\lambda$. ②
由①②可知，$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{3}$，$z=\frac{2}{3}$，
所以$\overrightarrow{EF}=(\frac{1}{3},-\frac{1}{6},\frac{1}{6})$.
方法一 因为$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{DE}=(1,1, - 1)\cdot(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = 0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，
所以$\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{DE}$，所以$PB\perp DE$，
因为$PB\perp EF$，又$EF\cap DE = E$，$EF,DE\subset$平面$EFD$.
所以$PB\perp$平面$EFD$.
方法二 设$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$为平面$EFD$的法向量，
则有$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{1}\cdot\overrightarrow{EF}=0,\\\boldsymbol{n}_{2}\cdot\overrightarrow{DE}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{3}x_{2}-\frac{1}{6}y_{2}+\frac{1}{6}z_{2}=0,\\\frac{1}{2}y_{2}+\frac{1}{2}z_{2}=0,\end{cases}$
所以$\begin{cases}x_{2}=-z_{2},\\y_{2}=-z_{2}.\end{cases}$取$z_{2}=1$，则$\boldsymbol{n}_{2}=(-1,-1,1)$.
所以$\overrightarrow{PB}//\boldsymbol{n}_{2}$，所以$PB\perp$平面$EFD$.

巩固练习2 如图，直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 1$，$CB = \sqrt{2}$，侧棱$AA_1 = 1$，侧面$AA_1B_1B$的两条对角线交点为$D$，$B_1C_1$的中点为$M$。 求证：$CD\perp$平面$BDM$。

答案：
证明:由已知，直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
所以以$C$为坐标原点，分别以$CB$，$CC_{1}$，$CA$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，

则$C(0,0,0)$，$A(0,0,1)$，$B(\sqrt{2},0,0)$，
$C_{1}(0,1,0)$，$B_{1}(\sqrt{2},1,0)$，$M(\frac{\sqrt{2}}{2},1,0)$，$A_{1}(0,1,1)$，$D(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，
所以$\overrightarrow{CD}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BD}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{DM}=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，
因为$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=0$，
所以$\overrightarrow{CD}\perp\overrightarrow{BD}$，即$CD\perp BD$，
因为$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{DM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times0+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2}) = 0$，
所以$\overrightarrow{CD}\perp\overrightarrow{DM}$，即$CD\perp DM$，
而$BD\cap DM = D$，且$BD,DM\subset$平面$BDM$，
所以$CD\perp$平面$BDM$.

【问题探究3】设$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$分别是平面$\alpha$，$\beta$的法向量，当平面$\alpha$垂直平面$\beta$时，$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$之间有什么关系？

答案： 提示:垂直.